菱形的判定2．2 19．
一、七彩题
于ACBD?交ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线．1（一题多解题）如图所示，△是菱形吗？请说明理E，四边形CDEFF，DE⊥AB于，点DCH⊥AB于H，且交BD于点由． C
D F
AB EH 二、知识交叉题
作?的中点，过点DAB=AC，D是BC2．（科内综合题）如图所示，已知△ABC中，，，垂足分别为G，FH⊥AB，再过E，F作EG⊥AC，⊥DEAB，DF⊥AC，垂足分别为EFA DK之间的关系．，试说明EF和，且EG，?FH相交于点KH
GHK
FE
DBC 三、实际应用题．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所3
AB，?，CD，DA分别是边的长方形的瓷砖，20cmE，F，G，HBC示是一块长30cm，宽的墙壁准备2.8m?4.2m，宽的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长贴这种瓷
砖，试问：DAG）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（1
HF ）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少（2 其中有花纹的菱形有多少个？个面积相等的菱形？?BCE
四、经典中考题5 共页第1 页
4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角
形．
五、探究学习篇
1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问
题，并加以说明．
2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC的平分线BF与AD相交于点F，AE?与BF?相交于点O，?求证：?四边形ABEF 是菱形．
证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以第2 页共5 页
1，BAF∠2=∠，∠ABE；⑤所以∠1=④因为∠ABE+∠BAF=?180°；AE，BF分别平分∠BAF 211；⑧AOB=90°）=90°4=；⑦所以∠∠3=（∠ABE+∠BAF∠ABE；??⑥所以∠1+3=∠∠22是菱形，问：；??⑨所以四边形ABEFBF所以AE⊥）上述证明是否正确？（1
；答：___________
步后添加如下证明过程：步推理错误，应在第_____（2）如有错误，在第______
参考答案CDEF是菱形．一、1．解法一：四边形
AB，，DE⊥理由：如图所示，因为∠1=∠2，∠ACB=90°，EBD，所以CD=DE，?所以△CBD ≌△BD又BD=??5，∠2，∠3=∠，∠因为∠1+∠4=90°2+∠5=90°，∠1= CF=DE．4．所以CF=CD．所以3=所以∠∠//DE．CF?，所以CH∥DE．所以ABAB因为CH⊥，DE⊥所以四边形CDEF是平行四边形．
又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．
解法二：四边形CDEF是菱形．理由：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．
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因为∠1=∠2，∠BCD=∠BED=90°，BD=BD，所以△BCD≌△BED．所以BC=BE．
又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3=??∠4．所以CF=CD．
又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，?
，所以CDEF是菱形．⊥CE 又因为DF 点拨：解法一利用了菱形的定义，?解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决，请同学们再进行探讨．
二、2．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．?
因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．
因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，
所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，?
所以EF与DK互相垂直平分．
点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，?要说明四边形DEKF 是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．
2），每块瓷砖的面积为0.3×4.2×2.8=11.76（m0.2=0.06）三、3．解：（1因为墙壁的总面积为2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196m（块）．（（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，
可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（?行）．
因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．
同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．
从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．
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，B=∠DABCD（1）因为四边形是菱形，所以AB=AD，∠四、4．解：．）连结AC，所以AE=AF．（2≌△又因为BE=DF，?所以△ABEADF BC的中点，?是等边三角形，因为E是△因为AB=BC，∠B=60°，所以ABC ，=30°，所以∠BAE=90°-60°所以AE⊥BC ，-∠B=120°同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°，?∠DAF=60°．又因为AE=AF∠所以∠EAF=∠BAD-BAE-是
等边三角形．所以△AEF 5 共页第5 页。