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北师大版版八年级上册数学 一次函数培优训练(详细,经典)

《一次函数》培优资料(1)专题一:一次函数的定义、图像及性质1.对于一次函数y = kx + k -1(k ? 0),下列叙述正确的是()A.当0 < k <1 时,函数图象经过第一、二、三象限B.当k > 0 时,y 随x 的增大而减小C.当k <1 时,函数图象一定交于y 轴的负半轴D.函数图象一定经过点(-1, -2)2.对任意实数k,直线y=kx+(2k+1)恒过一定点,该定点的坐标是.3.直线y=kx+b 经过点(2,﹣4),且当3≤x≤6 时,y 的最大值为8 则k+b 的值为.4.两个一次函数y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系中的图象大致是()5.如图,函数y=mx﹣4m(m 是常数,且m≠0)的图象分别交x 轴y 轴于点M、N,线段MN 上两点A、B(点B 在点A 的右侧),作AA1 ⊥x 轴,BB1⊥x 轴,且垂足分别为A1,B1,若OA1+OB1>4,则△OA1A 的面积S1 与△OB1B 的面积S2 的大小关系是()A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不确定的6.已知直线y =- n x +n +11n +1(n 为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为S n,则S1+S2+S3+…+S2018= .7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=﹣2x+12 的图象分别交x 轴y 轴于A、B 两点,过点A 的直线交y 正半轴于点M,且点M 为线段OB 的中点.(1)求直线AM 的函数解析式.(2)试在直线AM 上找一点P,使得S=S△AOM,请直接写出点P△ABP的坐标.8.点C 在直线AM 上,在坐标平面内是否存在点D,使以A、O、C、D 为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.专题二:重要公式和结论1.直线y=kx+b过点(x1,y1),(x2,y2),若x1﹣x2=1,y1﹣y2=﹣2,则k 的值为.2.含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中,其中A(﹣2 0),B(0,1),则直线BC 的解析式为.3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是平行四边形,且A(4,0)、B(6,2)、M(4,3).在平面内有一条过点M 的直线将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分,请写出该直线的函数表达式.4.如图,点A的坐标为(﹣2,0),点B在直线上运动,当点B 的坐标是时,线段AB 最短,最短距离为.5.如图,点A、B的坐标分别为(0,2),(3,4),点P为x轴上的一点,若点B 关于直线AP 的对称点B′恰好落在x 轴上,则点P 的坐标为.6.对于坐标系中的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2 两点间的“转角距离”,记作d(P1,P1).(1)令P0(3,﹣4),O为坐标原点,则d(O,P0)=;(2)已知O 为坐标原点,动点P(x,y)满足d(O,P)=2,请写出x 与y 之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中,画出所有符合条件的点P 所组成的图形;7.设P0(x0,y0)是一个定点,Q(x,y)是直线y=ax+b 上的动点,我们把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的“转角距离”.若P(a,﹣2)到直线y=x+4 的“转角距离”为10,求a 的值.专题三:直线与x轴正方向夹角和k的关系1.已知:一次函数的图象如图所示,则k= .2.如图,已知A点坐标为(5,0),直线y=kx+b(b>0)与y轴交于点B,∠BCA=60°,连接AB,∠α=105°,则直线y=kx+b 的表达式为.3.如图,点A 的坐标为(﹣2,0),点B 在直线y=x 上运动,当线段AB 长最短时点B 的坐标为.4.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y = 3 x ,直线l2:y =3x ,在3直线l1 上取一点B,使OB=1,以点B 为对称中心,作点O 的对称点B1,过点B1 作B1A1∥l2,交x 轴于点A1,作B1C1∥x 轴,交直线l2 于点C1,得到四边形OA1B1C1;再以点B1 为对称中心,作O 点的对称点B2,过点B2 作B2A2∥l2,交x 轴于点A2,作B2C2∥x 轴,交直线l2 于点C2,得到四边形OA2B2C2;…;按此规律作下去,则四边形OA n B n C n的面积是.5.已知,直线x +与x 轴,y 轴分别交于点A,B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,且点P(1,a 为坐标系中的一个动点.= ;(1)则三角形ABC 的面积S△ABC点C 的坐标为;(2)证明不论 a 取任何实数,△BOP 的面积是一个常数;(3)要使得△ABC 和△ABP 的面积相等,求实数a 的值.6.如图,平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于A、B 两点,点A 的坐标为(1,0)∠ABO=30°,过点B 的直线y= x+m 与x 轴交于点C.(1)求直线l 的解析式及点C 的坐标.7.点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1 个单位长的速度运动(0<t<4),过点D 分别作DE∥AB,DF∥BC,交BC、AB 于点E、F,连接EF,点G 为EF 的中点.①判断四边形DEBF 的形状并证明;②求出t 为何值时线段DG 的长最短.8.点P 是y 轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q 点的坐标;若不存在,说明理由.《一次函数》培优资料(2)专题四:一次函数与几何变换1. ( 1 )直线y = 2x +1 向下平移 3 个单位后的解析式是.( 2 )直线y = 2x +1 向右平移 3 个单位后的解析式是.2.如图,已知点 C 为直线y =x 上在第一象限内一点,直线y = 2x +1 交y轴于点A,交x 轴于B,将直线AB 沿射线OC 方向平移3 2 个单位,则平移后的直线的解析式为.yACBO x3.如图,平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别是A(1,1),B (3,1),C(2,2),当直线与△ABC 有交点时,b 的取值范围是.4.在平面直角坐标中,已知点A(-2,3)、B(4,5),直线y=kx+1(k≠0 与线段AB 有交点,则k 的取值范围为.5.将函数y=2x+b(b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后,所得的折线是函数y=﹣|2x+b|(b 为常数)的图象.若该图象在直线y=2 下方的点的横坐标x 满足0<x<3,则b 的取值范围为.6.如图,函数y=﹣2x+2 的图象分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,则直线AC的函数解析式是.7.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A,C 分别在x 轴y 轴上,点B 在第一象限,直线y=x+1 交y 轴于点D,且点D 为CO 中点,将直线绕点D 顺时针旋转15°经过点B ,则点B 的坐标为.8.如图1,已知平行四边形ABCD,AB∥x 轴,AB=6,点A 的坐标为(1,﹣4),点D的坐标为(﹣3,4),点B在第四象限,点P是平行四边形ABCD 边上的一个动点.(1)若点P 在边BC 上,PD=CD,求点P 的坐标.(2)若点P 在边AB,AD 上,点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x﹣1 上,求点P 的坐标.解:(1)∵CD=6,∴点P 与点C 重合,∴点P 坐标为(3,4).(2)①当点P 在边AD 上时,∵直线AD 的解析式为y=﹣2x﹣2,设P(a,﹣2a﹣2),且﹣3≤a≤1,若点P 关于x 轴的对称点Q1(a,2a+2)在直线y=x﹣1 上,∴2a+2=a﹣1,解得a=﹣3,此时P(﹣3,4).若点P 关于y 轴的对称点Q3(﹣a,﹣2a﹣2)在直线y=x﹣1 上时,∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1,解得a=﹣1,此时P(﹣1,0)②当点P 在边AB 上时,设P(a,﹣4)且1≤a≤7,若等P 关于x 轴的对称点Q2(a,4)在直线y=x﹣1 上,∴4=a﹣1,解得a=5,此时P(5,﹣4),若点P 关于y 轴的对称点Q4(﹣a,﹣4)在直线y=x﹣1 上,∴﹣4=﹣a﹣1,解得a=3,此时P(3,﹣4),综上所述,点P 的坐标为(﹣3,4)或(﹣1,0)或(5,﹣4)或(3,﹣4).9.若点P 在边AB,AD,CD 上,点G 是AD 与y 轴的交点,如图2,过点P 作y 轴的平行线PM,过点G 作x 轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM 沿直线PG 翻折,当点M 的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标.(直接写出答案)(3)①如图1 中,当点P 在线段CD 上时,设P(m,4).在Rt△PNM′中,∵PM=PM′=6,PN=4,∴NM′==2,在Rt△OGM′中,∵OG2+OM′2=GM′2,∴22+(2+m)2=m2,解得,∴P (﹣,4)根据对称性可知,P(,4)也满足条件.②如图2 中,当点P 在AB 上时,易知四边形PMGM′是正方形,边长为2,此时P(2,﹣4).③如图3中,当点P在线段AD上时,设AD交x轴于R.易证∠M′RG=∠M′GR,推出M′R=M′G=GM,设M′R=M′G=GM=x.∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,∴R(﹣1,0),在Rt△OGM′中,有x2=22+(x﹣1)2,解得x=,∴P(﹣,3).点P 坐标为(2,﹣4)或(﹣,3)或(﹣,4)或(,4)10.如图,直线l1 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点,直线l2 与直线l1 关于x 轴对称,已知直线l1 的解析式为y=x+3,(1)求直线l2 的解析式;y=﹣x﹣3(2)过A 点在△ABC 的外部作一条直线l3,过点B 作BE⊥l3 于E,过点C 作CF⊥l3 于F,请画出图形并求证:BE+CF=EF;(2)如图.BE+CF=EF.∵直线l2 与直线l1 关于x 轴对称,∴AB=AC,∵l1 与l2 为象限平分线的平行线,∴△OAC 与△OAB 为等腰直角三角形,∴∠EBA=∠FAC,∵BE⊥l3,CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF,EA=FC,∴BE+CF=AF+EA=EF;(3)△ABC 沿y 轴向下平移,AB 边交x 轴于点P,过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q,与y 轴相交于点M,且BP=CQ,在△ABC 平移的过程中,①OM 为定值;②MC 为定值.在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.(3)①对,OM=3过Q 点作QH⊥y 轴于H,直线l2 与直线l1 关于x 轴对称∵∠POB=∠QHC=90°,BP=CQ,又∵AB=AC,∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ,则△QCH≌△PBO(AAS),∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM ∴HM=OM∴OM=BC﹣(OB+CM)=BC﹣(CH+CM)=BC﹣OM∴OM= BC=3.例1对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1 次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A 的坐标为(1,0).(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.(2)如图,点M是直线l上的一点,点A关于点M的对称点的点B,点B关于直线l的对称轴为点C.①若A. B. C三点不在同一条直线上,判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由.②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C 的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值.例2 已知,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的顶点在原点.(1)如图,若点C 的坐标为(-1,3),求A点坐标;(2)如图,点F 在AC 上,AB 交x 轴于点E。

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