2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题（ 每小题10分，共80分）1.某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab 与cd 时，恰好都得到完全平方数：2229,29,(,,)ab n cd m m n m n N ==>∈，则数组(),m n ab cd ++= ．2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线221916y x -=的顶点和焦点，则椭圆的方程为： ．3.实数,x y 满足22236xy y+=，则x y +的最大值是 ．4. 四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===平面BCD 与平面ABC 成045的二面角，则点B 到平面ACD的距离为 ． 5.从集合{}1,2,3,,2009M =中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则M中剩下的元素个数为 ．6.函数322()(1)x x f x x -=+的值域是 ．7.247coscoscos cos 15151515ππππ--+= ．8. 九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a aa a a ++++的值为一平方数，2468a a a a +++的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ．二、解答题（ 共70分）9. （20分）给定Y 轴上的一点(0,)A a （1a >），对于曲线2112y x =-上的动点(,)M x y ，试求,A M 两点之间距离AM 的最小值（用a 表示）．10. （25分）如图，AB 、CD 、EF 是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,,M N P ；证明：,,M N P三点共线．DFB AC答案1. (100,100)提示： 注意到，对于整数k ，若2k 的末位数为9，则k 的末位数必为3或7，易知244200029ab <<，（2452025=），255302529cd =>，因此4455n m <<<，于是，若要,m n 满足条件，只可能是，47,53n m ==，由于2472209=，2532809=，所以20,80,47,53ab cd n m ====，()(),100,100m n ab cd ++=． 2.2211625x y += 提示：双曲线的两顶点为()0,3±，两焦点为()0,5±，故由条件，椭圆的两焦点为()0,3±，两顶点为()0,5±，因此，3,5c a ==，22216b ac =-=，则椭圆的方程为2211625x y +=．3. 11102+提示：令x y t+=，则x t y=-，由()22236t y y y-+=，得()22522320yt y t -++=，因y 为实数，则判别式()224234520t t ∆=+-⨯⨯≥210210t -+≤≤．4.33提示：2DC AC ==，作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连,CE AE ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以45DCE ∠=，故212CE DE DC ===，1136ABCDABC VDE S =⋅=，又因ABCE为正方形，1AE =，则2AD =因此正三角形ACD的面积为32，设B 到平面ACD 的距离为h ，由1136ACD h S ⋅=，得33h =5. 1072．提示：集合M 中，3的倍数有20096693⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20094015⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有200913315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，则剩下的元素个数为()20096694011331072-+-=个．6. 11[,]44- 提示：2221()11x x f x x x -=⋅++，令tan x α=，则 11sin 2cos 2sin 424f ααα=⋅=，由此，1144f -≤≤，当tan ,tan 88x ππ=-时两边分别取得等号．7.12-．提示：724cos cos cos cos 1515151542cos cos 2cos cos155155ππππππππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-原式42coscos cos 515154cossinsin5610ππππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-12cossin5102ππ=-=-．（注：由000000sin 722sin36cos364sin18cos18cos36==，则001sin18cos364=，即1cos sin 5104ππ=．） 8. 18000提示：设这九数为4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a=，则2254m n a ==，得2345mn = ①令112,5n n m m ==，得231110040mn =，所以 231152mn =，再取122m m =，125n n =，化为 2222225mn =，取2210,2mn ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =， 918000S a ==．9. 如图，易求得曲线上诸点的坐标为：(2,0),2,0),(0,1)E F D -，当22x<，YXoDFEM A即22x -≤≤时，曲线方程为212x y =-……①； 而当22x≥时，曲线方程为212x y =- ……②，对于情形①，即22x -≤时，显然当M 位于顶点D 处时，距离AM 取得最小值1a -；对于情形②，即在2x ≤2x ≥2(,1)2x M x -，由于2222221(1)(2)2124x AM x a x a a =+--=-++，因1a >，则22a >，22a >2x a=时，AM 取21a +；再比较AD 与AM ：令222()(1)(21)(4)f a AD AM a a a a =-=--+=-， 则当14a <≤时，()0f a ≤，AD AM ≤，即最小值为1AD a =-；而当4a >时，()0f a >，则最小值21AMa =+10. 如图，设,,AB CD EF 为三条不相交的弦，其中AC BD P=，AFBE M=，CEDF N=，又设BDCE H=，点,,N P M 截BEH ∆的三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证1HP BM ENPB ME NH⋅⋅= ①， 用记号∆表示三角形面积，则由BM BAF BA BFME EA EFEAF ∆⋅==⋅∆ ② PHNMEABFHP HAC HAC EAC CH EA EC CH EAPB CE BA BC BA BCBAC EAC BAC ∆∆∆⋅⋅==⋅=⋅=⋅⋅∆∆∆ ③ 由此得HP BM CH BFPB ME BC EF⋅⋅=⋅，因此只要证，1EN BF CHEF BC NH⋅=⋅， ④注意 EN DNEF DC=， BFD BCD ∠=∠，则 NH NBD FBD FBNCH CBD CBD∆∆-∆==∆∆ FB FD FB FNCB CDFB ND FB EN CB CD CB EF ⋅-⋅=⋅⋅==⋅⋅所以1EN BF CHEF BC NH⋅=⋅，即④成立，从而①成立，故结论得证．11.设分成的41个组为1241,,,A A A ，每组中的各数和皆为49，称这种组为A 类组；而分成的49个组为1249,,,B B B ，每组中的各数和皆为41，称这种组为B类组．显然，每个项kx 恰好属于一个A 类组和一个B类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组,ijA B中有两个公共项,rtx x ，则可以将这两个数合并为一个项rtxx +，这样可使n 值减少，故不妨设，每对,i jA B 至多有一个公共项． 今用点1241,,,u u u 分别表示1241,,,A A A ，而点1249,,,v v v 表示组1249,,,B B B ，如果组,ijA B 有公共项，则在相应的点,iju v 之间连一条边，于是得二部图G ，它恰有n 条边和90个顶点．下面证明G 是连通图．如果图G 的最大连通分支为G '，其顶点数少于90，设在分支G '中，有a 个A 类顶点12,,,ak k k uu u 和b 个B类顶点12,,,bs s s vv v ，其中90a b +<，则在相应的A 类组12,,,ak k k A A A 和B 类组12,,,bs s s BB B 中，A 类组ik A 中的每个数ix 都要在某个B 类组js B 中出现；而B 类组is B 中的每个数jx 也都要在某个A 类组jr A 中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾），因此a 个A类组12,,,ak k k A AA 中各数的和应等于b 个B 类组12,,,bs s s B B B 中各数的和，即有4941a b =，由此得41a ，49b，所以414990a b +≥+=，矛盾！因此G 是连通图．于是图G 至少有90189-=条边，即89n ≥； 另一方面，我们可实际构造一个具有89项的数列1289,,,x x x ，满足本题条件．例如取141427541,8,x x x x ======76797,x x ===808384851,6,x x x x =====86872x x ==，88895,3xx ==，（该数列有41个取值为41的项；34个取值为8的项；另将其余七个8拆成七对，其中四对{}7,1，两对{}6,2，一对{}5,3，又得到14个项），于是，每个A 类组可由一个41，一个8，或者由一个41，添加一对和为8的项组成；这样共得41个A 类组，每组各数的和皆为49；为了获得和为41的49个B 类组，可使1241,,,x x x各成一组，其余的数可以拼成八个B 类组：{}8,8,8,8,8,1的组四个，{}8,8,8,8,7,2的组两个，{}8,8,8,8,6,3的组一个，{}8,8,7,7,6,5的组一个．故n 的最小值为89．。