应力应变关系弹性模量 ||广义虎克定律1.弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。

常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。

A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定，即(1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为(2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。

弹性力学问题按边界条件分为三类。

a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。

面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。

这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。

b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为式中，U*i为表面上给定的位移分量。

这一类问题是已知体积力和表面各点的位移，求解体内各点的位移、应变和应力。

c 混合问题部分边界上给定力，部分边界上给定位移。

3.按位移求解的弹性力学基本方法按位移求解时，以3个位移分量为基本未知量，利用几何方程和物性方程，15个基本方程简化为以位移表示的平衡方程：求解时位移分量在物体内部满足式（3-14），在位移边界S u上满足式（3-13），在应力边界Sσ上满足式（3-12），但式中的应力分量应利用应力-应变关系和应变-位移关系变换为位移的形式。

求出位移分量后，再利用几何方程和物性方程，求出应变和应力分量。

4.按应力求解的弹性力学基本方程按应力求解时，以6个应力分量为基本未知量。

它们必须满足平衡方程，同时还要满足以应力表示的协调方程，即式（3-15）和平衡方程式（2-1-22）一起，成为按应力求解弹性问题的基本方程组。

按应力求解弹性问题，就是寻求满足基本方程式（2-1-22）和式（3-15），以及边界条件[式（3-12）]的解。

5.平面问题的基本方程弹性力学平面问题，包括平面应力和平面应变问题两类。

通常利用应力函数将弹性力学平面问题简化为解双调和方程的边值问题。

平面问题基本方程的直角坐标和极坐标表达式见表3-4 平面问题的基本方程。

表中除物性方程外，对于其他方程，平面应力和平面应变问题中的形式是相同的。

比较一下这两类问题的基本方程后可知，只要将平面应力问题的解中的弹性常数E、v改为E/（1-V2）、V/（1-V）后，就得到对应的平面应变问题的解。

因此，对于截面形状和边界条件相同的物体，平面应力问题与平面应变问题中的应力分布（σx、σy、τxy、σz除外）是相同的。

6.基本方程的解法15个弹性力学基本方程简化为以位移表示的3个平衡方程[式（3-14）]或以应力表示的6个协调方程[式（3-15）]。

求解上述方程时，类似在平面问题中应用艾雷应力函数所用的方法，常引用应力函数或位移函数，以消去应力分量或位移分量，求解以应力函数表示的协调方程，或以位移函数表示的平衡方程。

表3-5 帕普科维奇-诺埃伯谢函数和勒夫谢函数列出用帕普科维奇-诺埃伯函数和勒夫函数表示的无体积力时平衡方程的齐次解。

勒夫函数常用于求解轴对称问题。

7.二维和三维问题常用的应力、位移公式（见表3-6 二维和三维问题常用的应力、位移公式）能量原理应变能、应变余能与应变能定理 || 虚位移定理 || 最小势能原理 || 虚力原理||最小余能原理 || 卡氏定理 || 互等定理 || 李兹法直接求解弹性力学基本方程在数学上存在困难，只有一些比较简单的问题已求得精确解。

而能量法把求解问题的过程转变为一种极值问题，它比直接求解偏微分方程边值问题能更方便地得到近似解。

因此能量原理是目前广泛应用的近似计算方法的基础。

1.应变能、应变余能与应变能定理a 应变能单位体积的应变能称为应变能密度，以W表示。

W为应变分量εij的函数，W可用脚标形式表示为对于线弹性体，其值为线弹性体的总应变能为对各向同性材料，利用虎克定律，应变能密度可用单一的应力分量或应变分量表示为b 应变余能单位体积的应变余能W*为应力分量σij的函数，W*（σij）定义为对线弹性体，c 用应变能和应变余能表示力与应变的关系应变能密度函数W（εij），表示因弹性变形而储存于单位体积内的弹性势能。

应力与应变之间的关系，通过弹性势函数W表示为如果把应变分量表示为应力分量的函数时，则存在如下关系式，即对线弹性体，W*=W，式（3-34）变为d 应变能定理如果弹性体在变形过程中无能量耗损，则弹性体内的应变能在数值上等于外力在变形过程中所作的功，即式中，A为外力所作的功，包括体积力和面力所作的功。

2.虚位移定理弹性体在外力作用下处于平衡状态时，体内各点如果发生一虚位移δui(所谓虚位移，是指几何约束容许的任意、微小的位移，也就是指符合物体的连续条件和位移边界条件的可能位移)，则外力对虚位移所作的功（虚功），等于虚位移所引起的弹性体的虚应变能，即式中，虚功δA包括体积力fi和面力pi在虚位移δui上所作的功，即因虚位移而引起的虚应变能为式（3-37）称为虚功原理或虚位移原理。

虚位移原理等价于平衡条件。

如结构上的外力在虚位移上所作的虚功等于结构的应变能，则结构必处于平衡状态。

在虚位移原理推导过程中并未应用虎克定律，虚位移原理也适用于非弹性体。

3.最小势能原理如果外力可由一个势函数V导出，外力势V=-A,则δV=-δA.由式（3-37），得变分方程式中,称为系统的总势能，是位移的函数。

式（3-38）表明：弹性体处于平衡状态时，其内力和外力的总势能取驻值。

可以证明，线弹性体处于平衡状态时，其总势能取最小值。

因此，式（3-38）称为最小势能原理。

也就是说，在所有几何容许位移中，满足势能驻值条件δⅡ=0的位移解，使总势能Ⅱ取最小值。

在应用中，可根据势能驻值条件去求解弹性力学问题。

在分析结构稳定问题时，在平衡状态（δⅡ=0），总势能Ⅱ可能取极大值（δ2Ⅱ<0，不稳定平衡），驻值（δ2Ⅱ=0，临界状态）或极小值（δ2Ⅱ>0，稳定平衡）。

4.虚力原理如对变形协调的弹性体施加某种虚力（即平衡条件所容许的，任意微小的力的改变，包括虚应力δσij 和虚面力δpI）,则虚外力在真实位移上的虚余功δA*等于虚应变余能，即式中（3-40）称虚力原理或余能原理，它和以位移为变量的虚位移原理相对应。

式中虚力原理将给出协调条件，如对弹性体施加某种虚力，当外虚余功等于虚应变余能时，弹性体必满足变形协调条件。

5.最小余能原理令式中，Ⅱ*称为系统的总余能。

由式（4·5-40）得变分方程式（3-42）表明，在满足平衡方程和静力边界条件的所有应力中，能适合几何边界条件并能产生协调应变场的正确解，使余能取胜驻值。

可以证明，在线弹性小就形情况下，在平衡条件容许的所有应力中，使余能取驻值的应力，就是使余能为最小值的应力，也就是线弹性小变形问题的正确应力解。

因此，式（3-42）称为最小余能原理。

6.卡氏定理当物体的表面力为集中力时，虚力原理的余能驻值表达式可写为式中，Qi--广义力qi--广义位移由上式得对于线弹性系统，Ⅱ*=Ⅱ，U*=U，式（3-43）变为对于线弹性系统，卡氏定理表述为：系统的应变能对任一集中的偏导数，等于力作用点以力方向的位移。

7.互等定理设弹性体有两种平衡状态。

第一种平衡状态为面力pi',体积力fi'和相应的位移ui'(i=x,y,z);第二种状态为面力pi″体积力fi″和相应的位移ui″。

互等定理表述为：第一组外力在第二组外力引起的位移上所作的功，等于第二组外力在第一组外力引起的位移上所作的功，即互等定理应用于梁的问题时，得影响系数对称性关系。

设载荷为横向力p，挠度为y，式（3-45）写成如果梁上只在x1，x2,…，xn处作用有集中力p1,p2, …，pn。

把在xj处作用单位集中引起的在xI处的挠度记为aij,aij称为影响系数，由互等定理得8.李兹法李兹法是基于变位移的最小势能原理的直接近似求解方法。

根据问题的几何边界条件，假设的一组位移解中含有待定参数aj、bj、cj。

由最小势能原理，在所有假定的几何容许的位移函数中，真实的位移使总势取驻值。

因此可取如下一系列位移函数的近似解，即式中，aj、bj、cj为待定参数；uxj(x，y，z)、uyj(x，y，z)、uz（x，y，z）为满足位移边界条件的位移函数。

由势能驻值条件，令得到3n个线性方程组，解出aj、bj、cj后，代入式（3-47），就得到问题的位移解。

一般只要位移数选择得当，只须取有限几个待定参数，就可得到足够精确的位移解。

李兹法也可以基于最小余能原理的余能驻值条件，直接求得近似应力解。

表3-7 弹性基础梁的近似解与精确解的比较热应力热弹性方程 || 热传导方程与温度场 || 热应力问题的应用物体加热或冷却时，体内各部分因温度变化而伸缩，如果受到约束就产生热应力。

一种约束是由于物体表面的边界条件产生的。

例如，不同形状的物体均匀升高温度T时产生的热应力为棒状物体，两端固定σ=-αET平板物体，周边固定σ=-αET/(1-v)块状物体，外表面固定σ=-αET/(1-2v)式中，σ为线膨胀系数，负号表示压应力。