高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习A ．64B ．100C ．110D ．120 解析：选B.设等差数列公差为d ，则由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＝4a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝28， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝42a 1＋13d ＝28，解得a 1＝1，d ＝2，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×1＋10×92×2＝100.2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S nn}的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100解析：选C.S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴S nn＝n ＋2.故S 11＋S 22＋…＋S 1010＝75.3．(原创题)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：选A.f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项相消法求和得S n ＝n n ＋1.故选A. 4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 17＋S 33＋S 50等于________．解析：由题意知S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12(n 为奇数)，－n2(n 为偶数).∴S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a nn ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n6．已知等差数列{a n }中，S n 是它前n 项和，设a 6＝2，S 10＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出的顺序组成一个新数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }首项，公差分别为a 1，d . 则由已知得a 1＋5d ＝2①10a 1＋10×92d ＝10②联立①②解得a 1＝－8，d ＝2，所以a n ＝2n －10(n ∈N *)．(2)b n ＝a 2n ＝2·2n －10＝2n ＋1－10(n ∈N *)，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4(1－2n)1－2－10n ＝2n ＋2－10n －4.练习1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8C ．4D ．不确定解析：选B.由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，可得数列{a n }是等差数列，S 25＝(a 1＋a 25)·252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.2．数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项和为( )A ．700B ．710C ．720D ．730解析：选C.由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：S 20＝20(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)2＝20×(5＋7＋60)2＝720.3．数列9,99,999，…的前n 项和为( ) A.109(10n －1)＋n B ．10n－1 C.109(10n －1) D.109(10n－1)－n 解析：选D.∵数列通项a n ＝10n－1，∴S n ＝(10＋102＋103＋ (10))－n＝10(1－10n)1－10－n＝109(10n－1)－n .故应选D. 4.(2010年哈师大附中模拟)设a n ＝－n 2＋17n ＋18，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．17B ．18C ．17或18D ．19解析：选C.令a n ≥0，得1≤n ≤18. ∵a 18＝0，a 17>0，a 19<0，∴从首项到第18项或17项和最大．5．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：选B.数列的前n 项和为 11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9， ∴在y 轴上的截距为－9.6．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2009＋a 2010>0，a 2009·a 2010<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4017B ．4018C ．4019D ．4020解析：选B.∵a 1>0，a 2009＋a 2010>0，a 2009·a 2010<0，且{a n }为等差数列， ∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a 2009是绝对值最小的正数，a 2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a 2009|>|a 2010|. ∵在等差数列{a n }中，a 2009＋a 2010＝a 1＋a 4018>0，S 4018＝4018(a 1＋a 4018)2>0，∴使S n >0成立的最大自然数n 是4018.7．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.解析：由于a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)∴S n ＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1.答案：2nn ＋18．若1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋…＋1x (x ＋1)＝110(x ∈N ＋)，则x ＝________.解析：原式分子为1＋3＋5＋…＋(2x －1) ＝(1＋2x －1)x 2＝x 2，分母为11·2＋12·3＋…＋1x (x ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1x －1x ＋1＝x x ＋1，原式为：x 2x x ＋1＝x 2＋x ＝110⇒x ＝10.答案：10 9．数列{a n }中，a 1＝－60，且a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．解析：{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20 ＝(－60＋90－63)302－(－60＋60－63)·20＝765.答案：76510．已知函数f (x )＝m ·2x＋t 的图象经过点A (1,1)、B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和，n ∈N *.(1)求S n 及a n ；(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1t ＝－1，∴f (x )＝2x －1，∴S n ＝2n －1(n ∈N *)．∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合上式．∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知c n ＝6na n －n ＝3n ×2n－n .从而T n ＝3(1×2＋2×22＋…＋n ×2n)－(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6.11．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵：a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．(1)求第i 行第j 列的数a ij ；(2)求这n 2个数的和．解：(1)由a 11＝2，a 13＝a 61＋1得2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12(舍去)．a ij ＝a i 1·3j －1＝[2＋(i －1)m ]3j －1＝(3i －1)3j －1.(2)S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn ) ＝a 11(1－3n )1－3＋a 21(1－3n )1－3＋…＋a n 1(1－3n )1－3＝12(3n －1)·(2＋3n －1)n 2＝14n (3n ＋1)(3n －1)． 12.(2009年高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n .(1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，…b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)．于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求的通项公式为b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －n2n －1，故S n ＝(2＋4＋…＋2n )－(1＋22＋322＋423＋…＋n2n －1)，设T n ＝1＋221＋322＋423＋…＋n2n －1，①12T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，② ①－②得， 12T n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.∴S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22n －1－4.。