数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(a?a)n(n?1)n1?S?na?d1、等差数列求和公式：1n22(q?1)na?1?n a?aq)qa(1??S 2、等比数列求和公式：?n11n?(q?1)?1?q1?q?nn11??2)?1)(2n()k?nn?1S?S?(k?nn?1、 4 3、?23)]1n??[nS?(k5、n21k??123n logx?????x??????xx?x例已知1]的前n，求项和. nn621?kk?1n1[ 33log21?1log??2?xlog??logxx?解：由33323log2 1n32x?????S?x?x?x（利用常用公式）由等比数列求和公式得n11)(1?n)x(1?x1n22＝＝＝1－1n x?12?12S*n?)f(n例.,求的最大值[∈2]设S＝1+2+3+…+n，nN n S)?32(n1?n11)?2?(n?1)(S?nSn(n?1)（利用常用公式）解：由等差数列求和公式得，nn22Sn n?(fn)∴＝2S32)(n?64n?n?341n?111?＝＝86450250)(n???n?34n n18?nf(n)?∴，即n＝当8时，max508二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a·b}的前n nn项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等比数列.nn23n?1S?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x例………………………求和：①[3] nn?1n?1x1)(2n?x}的通项之积{解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列234n xS?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x（设制错位）②设……………………….n234n?1n(1?x)S?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x（错位相减）①－②得nn?1x?1n(1?x)S?1n?1)x?2x??(2再利用等比数列的求和公式得：n1?x n?1n?(1?x)2n?1n(2?1)x)x?(S?∴n2)?x(12462n,,,???,,???例前n求数列项的和[4] .n3222222n1解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积nn22 22462n???????S?设…………………………………①nn322222n22461????S????（设制错位）………………………………②n14n3?222222n2221222????(1?)S??????（错位相减）①－②得n1n2?34n2222222n12?2??1n?1?n222?n?4S?∴n1n?2三、反序相加法求和，再把它与原这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）)(a?a.数列相加，就可以得到n个n1n012n2n?1)(2n?1)C?(C?3C?5C?????例[5] 求证：nnnnn012Cn?1)C?????(2S?C?3C?5①设………………………….. 证明：nnnnn把①式右边倒转过来得01?1nn C?3C)C??????S?(2n?1)C(2n?1（反序）nnnnnmn?m CC?又由可得nnn?101n C?????3C)?1)C?(2n?1C??S(2n②…………..……..nnnnnnn01n?121(n?)?????C?C)?2?2S?(2n?2)(C?C（反序相加）①+②得nnnnnn2n?1)?S?(∴n22222 89?sinsinsin1?sin2?3?????sin88例求的值[ 6]22222 89sin???sin883?Ssin1?sin2?sin???解：设①………….将①式右边反序得22222 1sin?s?sin?88????sin3?in2?Ssin89（反序）…………..②22 1??xcosxx?sinxcos(90?),sin又因为（反序相加）+ ①②得 2 222 22 )??cos(sin??8989?cos?(sinS2?1?cos1)(sin2?2)?＝8944.5S ＝∴题已知函数13 ）证明：；（1）求的值2.（解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.111?4,?7,???,?3n?2,1?1例，求数列的前n项和：…[ 7]1n?2aaa111S?(1?1)?(?4)?(?7)?????(?3n?2)解：设n1n2?aaa将其每一项拆开再重新组合得111??????)?(1?4?7?????3n?2?S(1?)（分组）n1?2n aaa(3n?1)n(3n?1)nS?n?（分组求和）＝时，当a＝1n2211?1?n(3n?1)na?a n1)(3n?n a??a1S??当时，＝n1a?1221?a例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}[的前n项和.32a?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k解：设k 4nn??23)(2kk)k??3S?(kk?1)(2k?1＝∴n11k?k?将其每一项拆开再重新组合得nnn???23kk?k?32（分组）S＝n1k??11k?k233322)?n(1?2???????n)?3(12?????n)?2(1?2???＝22)1n?1)n(nn(n?1)?n(n?1)(2??（分组求和）＝2222)(n1)?2n(n?＝2五、裂项法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.（裂项）通项分解如：重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.1sin nn?1)?tan?tan()(n)?f?af(n?1 2）（（1）n )?1ncos(ncos21)11(2n111?a(?)?1???a?）（3）4 （nn12n?n?1)22n?1)((2n?121n?(nn?1)n1111][?a??）（5n)2(n?1)(n?nn(n?1)(n?2)2n(?1)11)?n1111n?22(n??则S?1?a?????,(6)nnnnnn?n1)?11n?)n(nn(2)n2??1)22n?21((n1111)(??a?（7）nC?BC)C?An?BAnB(An?)(An?1?a1n??n?）8（n1??nn111??,?,?,,??例.求数列n的前项和[9] 1?n?12n2?3?1a??n?1?n（裂项）解：设n1?n?n 5111??S?????（裂项求和）则n11?2?n2?3?n)n1???(n??1)?(3?2)??(2?＝n?1?1＝12n2b?????a???例. ，又n项的和，求数列[10]在数列{a}中，{b}的前nnnn a?an?1n?1n?11?nn12nn????a????∵解：n n?1n?1n?12211b??8(?)（裂项）∴n nn?1nn?1?22∴数列{b}的前n项和n1111111?()])?????[(1?)?(?)?(?8S?（裂项求和）n nn?122334n81)?8(1＝＝1n?1n? 1cos111???????例11] 求证：[2 cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1111??????S?解：设cos0cos1cos1cos2cos88cos89 1sin n??1)tan?tan(n （裂项）∵cosncos(n?1)111??????S?（裂项求和）∴89cos2coscos0cos1coscos1881 ]}8889(tan1)?3?tan2)?[tan?tantan??{(tan1tan0 )(tan2?＝ 1sin 1cos11 (tan89?tan0)?cot1＝＝＝2 sin1sin1sin1∴原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.n 6例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+··[·+ cos178°+ cos179°的值.解：设S＝cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°n )180?ncosn??cos(（找特殊性质项）∵··cos3°+ cos177°）+·+ cos179°）+（cos2°+ cos178°）+ （（∴S＝cos1°n（合并求和）+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝0a?1,a?3,a?2,a?a?a例，求：S[.13] 数列{a}2002nn1nn32?2?1a?a?a?????a解：设S＝20022002231a?1,a?3,a?2,a?a?a可得由n1n?n32?21a??1,a??3,a??2,645a?1,a?3,a?2,a??1,a??3,a??2,121178910……a?1,a?3,a?2,a??1,a??3,a??26k6?436k?1??5k6?26k6k6k?a?a?a?a?a?a?0（找特殊性质项）∵6?6k463k6k?6k?156k?2?6k?a?????a?a?a（合并求和）∴S＝20022002321)?aa????a)?????(a?)(a?a?a????a?(a?a????＝661k22836k?66k12?17?a??a?a??????a)a?????(a?a2002199820001994200119931999a??a?aa＝2002200020011999a?a?a?a＝466k?36k?1k6k?2?5＝a??log?loga???9aa?,求loga例.的值14][在各项均为正数的等比数列中，若102335361a?loga????logS?loga?解：设103331n2a?aq?aam?n?p?（找特殊性质项）由等比数列的性质qmpn NlogM?NlogM?log?和对数的运算性质得aaa)aa?log?a?log)????(loga)logaS?(log?a?(log（合并求和）632510393n3133)a?a(log??)a?a?)?a(loga(log???＝6131033925 7log9?log9?????log9＝333＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.1?11?111?????111???1例之和求. [ 15] n个111k?1109?)?1?(?999????111?（找通项及特征）解：由于 991k个1k个1????111??111?111???∴ 1n个1111n213)?(1011)?)??(10??1)??(10??(101?（分组求和）＝999911n123)1????1?110?????10?)??(10(?101?＝ 991个?)1)(a?,a?求a(n?例. [：16] 已知数列{a nn n10(10)?11??＝9110?911?n)n?10?(109＝81?8的值}n1nnn?)n?3(n?1)(1n?11]?1)[a?a)?8(n?(n?1)(（找通项及特征）解：∵1nn?)4?(n1)(n?3)n?(n?2)(11][?8?（设制分组）＝))(n?2)(n?44n(n?3)(?1111)(?)?(??84（裂项）＝4n?3n?2?nn?4???1111???))??4?a?)8((?)((n?1a（分组、裂项求和）∴1n?n432n?n?4n?n?1n??n1?1n111?(4???8)＝443 813＝3提高练习：??SS?4a?2(n?1,2,),aa?1n，1．已知数列是其前项和，并且中，nn1?1nn??b2,)a(n1,2ba ?? ?是等比数列；，求证：数列⑴设数列n?n1nn a??n c),,(1c,2 ?n ?是等差数列；⑵设数列，求证：数列nnn22aa x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2设二次方程2．αβx-+6β=3．+1nn a表示a试用；(1)n1n???*a?2aa?a2a??8,an?N且满足．数列中，3n?n2n?1n41??a的通项公式；⑴求数列n S?|a|?|a|? ?|a|S；⑵设，求nn12n9。