A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.
【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；
若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；
若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前 项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为 ，所以原数字塔中前10层所有数字之积为 .
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）
A．小明B．小红C．小金D．小金或小明
【答案】B
【解析】
【分析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.
【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3= ，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（）
A．k3+1B．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3
C．（k+1）3D．
【答案】B
【解析】
分析：当项数从 到 时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
详解：当 时，等式左边
1
2
3
4
5
6
鸿福齐天
小明
小明
小红
小红
小金
小金
国富民强
小红
小金
小金
小明
小红
小明
兴国之路
小金
小红
小明
小金
小明
小红
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，
故选：B.
【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
∴
∴当 时， ，即73是 的“分裂数”中第一个数
故选B
13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是()
A．3 971B．3 972C．3 973D．3 974
【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共1+2+3+…+n 个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
14．三角形的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为 .类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为 ， ， ， ，则该四面体的重心的坐标为（）
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
3．将从 开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第 行，第 列的数记为 ，例如 ， ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定奇数 为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第 行末共有 个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
则第n组有n个数且最后一个数为n2，
则前n组共1+2+3+…+n 个数，
设第2019个数在第n组中，
则 ，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．
当 时，等式左边
所以增加的项为
所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。
12．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ,仿此，若 的“分裂数”中有一个是73，则m的值为（）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】
由题意可得 的“分裂数”为 个连续奇数，设 的“分裂数”中第一个数为 ，则由题意可得： ， ，…， ，将以上 个式子叠加可得
【详解】
奇数 为第1010个奇数，
由题意按照蛇形排列，从第1行到第 行末共有 个奇数，
则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数，
则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，
故2019位于第45行，从右往左第20列，
则 ， ，故 .
故选：D.
解得：n＝20，
即a200在第20组中，前19组的数的个数之和为： 190，
即a200在第20组的第10个数，即为 ，
a200 ，
故选B．
【点睛】
本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．
8．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近 （）
故选：A
【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前 项和公式应用，属于中档题
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )
【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.
4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
类比到等比数列 中，由 时，有 ，
因为
，
所以 成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．
6．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）
③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.
综上所述，盗窃者是甲.
故选：A.
【点睛】
本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．
7．已知数组 ， ， ，…， ，…，记该数组为 ， ， ，…，则 ( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．
【详解】
①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；
②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】