小波进行重构的基本条件
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信号的重构---如何进行离散小波逆变换？

连续小波变换的逆变换
x(t ) 1 C


0
da 1 t WT (a, ) ( )d a 2 R a a

( w)
w
2
R
dw
只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换
n
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框架、Riesz基、正交基

g ( x) an en
n
如果基底满足
0, m n en ( x), em ( x) 1, m n
g ( x) g ( x), g ( x)
2
g ( x), e ( x) e ( x), g ( x) 此时基底为标准（规范）正交基 ，此时有：

n n n
g ( x) g ( x), en ( x) en ( x)
n
g ( x), en ( x) , en ( x), g ( x)
n

不为正交基， 不相等，其它 这时才有Parseval等式关系？
g ( x), en ( x)
n
2
g ( x) g ( x), en ( x)
•不丢失原信号的信息 •减小计算量

•对尺度因子和平移 因子进行适当的离散

连续的时间-位移相 平面变成离散的点
0
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
kTs
j ln 2
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离散小波变换
只对尺度离散 位移仍然连续 尺度和位移都 离散
即A=B=3/2
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小波变换
CWT
t a, (t ) ( ) a a 1
尺度位移 离散化
DWT
m , n (t ) 2 (2 m t n)
m 2
冗余
多分辨率分析方 法(MRA)可以构 造出正交的小波 母函数 在MRA出现之 前人们已经构造 出了几种正交小 波

无冗余框架 H中的框架，如果去掉其中任一元素不再构成框架，则为 无冗余框架，即为Riesz基 正交基虽然优越，但有时难以得到，且对误差敏感，现实 中常用Riesz基，例如二维平面中任意不平行的二个向量构成 Riesz基，垂直则为正交基
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Riesz基

定义 令H是Hilbert空间，H中的一个序列{gj}jZ是 Riesz基，如果它满足以下的条件：
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主要内容
连续小波与离散小波 多分辨率分析与离散正交小波

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把尺度理解为照相机的 镜头，当尺度由小到大 变化时，相当于将镜头 由近及远地远离目标。 在小尺度空间里，可观 测到目标的细微部分； 在大尺度空间里，可观 测到目标大致的概貌。

1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架

统一了在此之前的小波构造 提供了构造新的小波基方便的工具
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小结

连续小波离散小波的关键问题：


离散的方式 尺度因子、平移因子 离散后构成框架、Reisz基或正交基 信号的重构 母小波的构造
满足了框架条件必然满 足了可容许条件
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信号的重构---如何进行离散小波逆变换？

若离散小波序列 { m,n (t )}m,nZ 构成一个框架，其上、 下界分别为A和B，则当A=B时(紧框架)，由框架 概念可知离散小波变换的逆变换为
f (t ) f , m, n
m, n
m, n (t )
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框架、Riesz基、正交基

用基底表示函数的展开 回顾三维矢量空间R3中，任何一个非零矢量M 可表示为
i M [ x, y , z ] j k

将此概念推广到泛函分析中
设 en x 为H中的线性无关的函数序列，若g ( x) H , 有 g ( x) an en 且系数an是唯一的，则称 en 为空间H的一个基
1) span g j (t ) | j Z H ,即f H , 0, 总存在 c j



jZ
l , 使得 f (t )
2
j n
c
2 j
n
j g j (t )

2) 存在常数0 A B , 使得 c j A

jZ
l 2 ,有
j
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小波分析中的框架

小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函 数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。
显然，当离散相差很近时，分解存在极大冗余（但 带来的好处是显微镜特点和相似性检测能力 ），此时 就不再属于传统的正交分解，而涉及到框架。

定量描述上述冗余性和相关性——再生核（重建核）
K (a1 , 1 , a2 , 2 ) 1 C

R
a , (t ) *a , (t ) d (t )
1 1 2 2
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小波分析中的框架

小波变换前后能量变化（稳定性 ）
尺度和位移离散化后，若使
A g ( x) g ( x), a ,
Haar小波构成了L2(R)上 的完备正交基 时域上不连续 频域上局部性差 常应用于理论研究中

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Littlewood-Paley

(t) (sin 2t sin t ) / t

Littlewood小波构成了 L2 (R)上的完备正交基 时域上局部性差 频域上局部性好

dense
j
V

j
{0}
f Vn f V0
f (2 n t ) V0
f (t n) V0 , 对所有n Z
正交基存在性 ψV0 使得{ψ(tn):nZ}是V0的 正交基。
可放宽为Reisz基，因为由Reisz 基可构造出一组正交基来
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证明
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小波分析中的框架
y
l ex , e y
120° 120°
x
对平面中的任意向量 都有：
2 2
l ex , e y

k 1
3
2
l , ek l y
3 1 3 1 lx l y lx l y 2 2 2 2
3 2 2 = lx l y 2 3 2 = l 2
2 n
2
g ( x)
a2
a1
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框架、Riesz基、正交基

A g ( x) g ( x), en ( x) B g ( x)
2 2 n
2
框架、紧框架
若A g ( x) g ( x), en ( x)
2 n
n
2
B g ( x)
2
A、B为正常数，称 e x 为H中的一个框架 若A=B，称为紧框架，此时，转换前后能量固定为一放大倍数 若A=B=1，则为正交基，即为Parseval等式
A f
2
f , j B f
2
2
则称 { j }为一个框架，A、B分别为框架的上下界
可以简单理解为：一组基，正交的或非正交的


紧框架
若 A B ，则称此框架为一紧框架， 若 A B 1 ，并且 j 1 ，则此时 j 构成一组正交基
f , j A f

ψ m,n构成 一个框架
ψ m,n构成 一个正交基
non-orthogonal orthogonal DWT DWT 冗余 无冗余
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Haar小波
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0 , others
连续小波
二进小波
离散小波
小波基函 数正交
小波基函数非正交
非正交离散小波

正交离散小波

小波母函数

计算量

光滑性好 对称性好 紧支性好
相对非正交小波更小 无冗余
小波变换系数

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小波的数学基础---框架
框架与信号的分解、重构密切相关

框架
{ 设H为希尔伯特空间， j } 为H中的一个函数序列，若对于任 意 f H ，存在0 A B ，使得下述不等式成立：
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多分辨率分析的定义

多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子 空间 {V j }, j Z


一致单调性
渐近完全性 伸缩规则性 平移不变性
V V1 V0 V1 V
j
V j L2 ( R)
2
2
120° 120°
紧框架 A B 非正交
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