有限元（FEM）
概述
❖ 历史
1943 Courant 最早提出思想 20世纪50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元
方法并奠定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
x1 y
y
J 称为泛函 J[ y] 的一次变分 （简称变 分）。而 2 J 、 3 J ……分别是函数变分y 及其导数y 的二次、三次齐次式……等的
积分，依次称为二次变分，三次变分……
令变分问题的解为 y y(x) ，且设极值解
y y(x) 稍有变动 y y ，且令
y (x)
满足(x1) (x2 ) 0齐次边界条件的可微函数
❖ 有限元思想3
有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的 连续场分割为有限个单元，用比较简单的插值函 数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单 元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总 体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内 部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法 构造极大地得到简化。
x2
1 y2 dx
0
x1 2gy
式中 J J[ y(x)]不仅取决于积分端 点 x1 和 x2 ，而且取决于 y y(x) 的选 取。J 取决于 y(x) ，所以 J 是函数 y(x) 的 函 数 ， 称 之 为 y(x) 的 泛 函 ， 记 作 J[ y(x)] 。于是所述之最速降线问题，在 数学上就归结为研究泛函 J[ y(x)] 的极
任意给定的微量实参数
y y(x, )
❖ 有限元思想4
由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质 分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合 成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条 件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单 独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一 类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的 构造。
❖ 有限元法主要特点1
函数族
仅有一个 y(x) 能使定积分 J[ y] 达到极小值
间接解法是将变分问题转化为尤拉方程 （微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。
J[ y] x2 F(x, y, y)dx x1
y称之为 y(x) 的变分，它反映了整个函数的变化量 相应于变分y的泛函增量为
J J[ y y] J[ y]
❖ 有限元思想1
有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与 泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法 是Rayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。
传统的有限元以变分原理为基础
➢ 变分问题就是求泛函极值的问题
直接解法－把变分问题化为普通多元函数求极值的问题－ Ritz ✓ 寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界 条件的基函数
❖ 例如最速降线问题，即在于研究当质点从定 点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短， 试求指点应延着怎样形状的光滑轨道下滑。
O A(x1, y1)
dx
x
沿曲线滑行弧线所需时间为
ds
dt ds secdx 1 y2 dx
v 2gy
2gy
B(x2, y2)滑行总时间为
y
T
J[ y(x)] T[ y(x)] dt
间接解法 －变分原理
➢ 变分问题与对应的边值问题等价
❖ 有限元思想2
有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径, 把所要求的微分方程型数学模型――边值问题， 首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题； 然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元 函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数 方程组，解之即得待求边值问题的数值解。
x2 [F(x, y y, y y) F(x, y, y)]dx x1
由多元函数的泰勒公式展开
J
{[ F y
y
F
y
y]
1 2
2F [ y2
(
y)2
2
2F yy
y
y
2F y2
(
y)2
]
}dx
J J 2J 3J J
式中作为泛函增量 J 的线性主部为
J x2 [F y F y]dx
离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原 理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆 逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而 予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法 的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
❖ 有限元法主要特点2
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限 元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
❖ 有限元法主要特点3
可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的 子程序集合。容易并行。
从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一 个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新， 推动了泛函分析与计算方法的发展。
&3.1变分原理与尤拉方程
❖ 在微积分学形成的初期，以数学物理问题为 背景，与多元函数的极值问题相对应，就已 经在几何、力学上提出了若干求解泛函极值 的问题。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
❖ 电磁工程应用及发展 静态场～时变场，闭域～开域，线性～非 线性，散射，波导、腔体、传输线 标量有限元发展到矢量有限元 高阶矢量有限元 单一方法发展到混合方法 (快速算法) 频域求解发展到时域求解 (区域分解技术) 商用软件：比如HFSS、ANSYS
值问题，即
J[ y(x1) 0
1 y2 dx min
2gy y(x2 ) y2
泛函的极值（max或min）问题就称为变分问题。
对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 x 、
单个函数 y(x)及其导数 y(x) 的已知函数
J[ y] x2 F(x, y, y)dx x1