w1 w2



w1 wn
w2 wn

wn wn



w1 w2 M
wn


n


w1 w2 M
wn

AW nW
W是 A 的最大特征值的向量
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（2） 思想：
整体判断
n个元素的两两比较。
定性判断
定量表示（通过标量）
通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
2、基本模型—单层次模型
（3）计算步骤 i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层 次单排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
A


w1 w2
w1 w1
w1 w2


w1 w2
wn wn


wn w1 wn wn
是完全精确的判断矩阵
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
AHP方法计算原理
满足
AW

w1

w2

w1 w1

wn w1
AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量
比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近 似的比值aij
aij～wi/wj 得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A.
A～A
精确判断矩阵A 的最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T 是完全精确的权重向量
近似判断矩阵A最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
多目标评估方法
MS-OR
归一化
3
Wi 3.871
i1
W1 0.105 W2 0.637 W3 0.258
0.105 W 0.637
0.258
max

n i1
( AW )i nWi
0.318 1.196 0.785 3.307 3 0.105 3 0.637 3 0.258
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
在单层次判断矩阵A中，当
aij

aik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。进行一致性检验的步骤如下：
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. max n ，式中n为判断矩阵阶数。
n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
方根法
1 1/ 5 1/ 3
A 5 1
3

3 1/ 3 1
计算Mi 的n次方根
M1

1
1 5

1 3

1 15

0.067
M 2 15, M 3 1
W1 3 M1 0.405, W2 2.466 W3 1
2009.11
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
2、基本模型—单层次模型
（1） 单层次模型结构
C
A1 C—目标
A2
…… An
Ai—隶属C的n个评价元素
决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
2、基本模型—单层次模型
5
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要
7
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要
9
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
(i)aij 0
(ii)aij

1 a ji
(iii)aii 1
例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5 这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这
多目标评估方法
AHP方法及其应用
2006.8
1
MS-OR
层次分析法 (Analytics Hierarchy Process, AHP)
1 2 3 4 5
2009.11
简介 基本模型 基本步骤 应用案例 应用软件
多目标评估方法
MS-OR
1、简介
层次分析法是由美国匹兹堡大学教授 T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是 把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些 因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层 次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的 相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素 相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者 解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方 便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。
是AHP的特点之一。
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
AHP方法计算原理 问题
为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量
W (w1, w2 ,...wn )T
可以作为评价单元A1, A2, …,An的权重向量？
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
AHP方法计算原理
解释
假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W (w1, w2 ,...wn )T 比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj 是一精确比值 所构成的两两比较判断矩阵
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
i. 判断矩阵
CK A1 A2
M
An
A1
A2
……
An
a11
a12
……
a1n
a21
a22
……
a2n
M
M
M
M
a n1
a n2
……
ann
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
1
表示两个元素相比，具有同样重要性
3
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的， 下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
维数 1 R.I. 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59