8.分析的严格化 8.2 分析的算术化
8.2.2实数理论
• 戴德金﹝Dedekind, 1831-1916﹞ • 1850年在格丁根大学求学 • 1852年获博士学位。 • 1854年留校任教，与狄利克雷和黎曼结为好友。 • 1862年返回家乡，在不伦瑞克综合工科学校执教，直至逝世。 • 是格丁根、柏林、巴黎、罗马等科学院的成员，还被欧洲几所大

1 4
a0 x2
Hale Waihona Puke x
n1
1 n2
an
cos
nx

bn
sin
nx(an , bn

0)
（T）在x处收敛F(x 2h) F(x 2h) 2F(x) 存在且在x处=（T） 4h 2
lim F(x 2h) F(x 2h) 2F(x) 0
h0
2h
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 8 Riemann的工作（之二）
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之二 ——函数及其连续性
• 函数连续性的定义与Bolzano的定义类似
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之三
——微分学
（一）生平 （Weierstrass, 1815-1897）
•数学分析算术化的完成者 •解析函数论的奠基人 •在其它数学领域的贡献 •卓越的大学数学教师
8.分析的严格化 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯 （一）生平——解析函数论的奠基人
•解析函数、解析开拓函数、完全解析函数 •整函数、亚纯函数 •多复变函数
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .5Cauchy分析严格化的影响
•对Laplace的影响 •对Dirichlet的影响 •对Riemann的影响 •对Weierstrass的影响
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .6 Cauchy分析严格化的缺陷
•未系统使用ε-δ方法 • 通常过多地依赖“充分接近”、“要多
小就有多小”等比较模糊的定性语言 • 定积分的定义的代替只用区间的端点值 • 偷换命题：在证明有界单调数列必收敛
时，实际已经用了实数系的完备性 • 未意识到建立实数理论的必要性
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .7 Cauchy分析严格化的地位
• 微积分成为由定义、定理（公式）及其证明、有关 各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。
8 分析学的严格化
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯 8.2.2实数理论 8.2.3集合论的诞生 8.3分析的扩展 8.3.1复分析的建立 8.3.2解析数论的形成 8.3.3数学物理与微分方程
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础
8.1.1背景
•在分析的严格化方面做出了开拓性的卓越贡献，但 尚未完成分析的算术化
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础
8.1 .8 Abel的工作
•把Cauchy的错误命题“连续函数的一个收敛级 数的和连续” 改为“连续函数的一个一致收敛 级数的和在收敛区域内部连续”并加以证明
•得到一些级数的收敛判别法则以及关于幂级数 求和的定理
（一）生平
• （Weierstrass, 1815-1897） • 1815年8月31日生于德国威斯特伐
利亚小村落奥斯滕费尔德 • 先在波恩大学学习法律和财政，
1838年转学数学 • 1854年，根据他的学术成就，柯尼
斯堡大学授予他名誉博士学位 • 1865年升为柏林大学教授
8.分析的严格化 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之一 ——极限与无穷小
•规定：当一个变量相继取的值无限接近一个固 定值，最终与此值之差要多小就有多小时，该值 就称为所有其它值的极限
•无穷小量的定义：以零为极限的量
•给出正无穷大量+∞与-∞的定义，（还是以变 量为基础，未直接从无穷小量的倒数出发）
something of a poet will never be a complete mathematician.
——Weierstrass
8.分析的严格化 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯 （二）数学分析算术化的完成者
• 实数论：在严格的逻辑基 础上，建立了实数理论，用 递增有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极 限、极限点和连续函数等 严格定义。
Riemann可积 ∑DK → 0 (max{Δxn}→ 0)
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 8 Riemann的工作（之二）
——Fourier级数
对三角级数表示的函数
(T ) :
1 2
a0

n1
an
cos
nx

bn
sin
nx(an , bn
0)
F ( x)
对导数的定义比Bolzano的定义多了一句“…当这个极限存在 时，…”并创立了记号:y’,f’(x)
首次使用ε-δ(使用的记号也是ε,δ)证明Lagrange中值定 理,并得到Cauchy中值定理:
f (X ) f (x0 ) f (x0 (X x0 )) F(X ) F(x0 ) F(x0 (X x0 ))
用微分中值定理证明极值点出切线的水平性
用微分中值定理及高阶导数的符号求极值
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之四
——积分学
•给出连续函数定积分的定义——分割、代替 （只用区间的端点值）、求和、求极限，并证明 其存在性
•简洁而严格地证明Newton--Leibniz公式
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4Cauchy的工作 (二)主要学术贡献
• 数学分析严格化的开拓者 • 复变函数的奠基者 • 弹性力学理论基础的创立者 • 其它 • 生前共出版了七部著作和800多篇论文，以
《分析教程 》（1821）和《关于定积分理论 的报告》（1827）最为著名。1882年开始出 版他的全集，至1970年已达27卷之多。
——Fourier级数
• 局域性定理：（T）在区间I上的敛散性 只依赖于F在区间上I的值。
•该定理被Cantor加强为唯一性定理: x∈[0,2]（T）收敛于0（T）≡0即 a0=an=bn=0 (n=1,2,…)
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 8 Riemann的工作（之三） ——连续不可微函数之一
•证明了定理：若连续函数f(x),g(x) f(α)<g(α), f(β)>g(β), 则存在 介于α与β之间的x ，使f(x)=g(x)
•得出了“有界实数集必有最小上界”的结论，后被Weierstrass严格证 明，被称为Bolzano——Weierstrass定理。 •1834年，开始写作《函数论》（生前未发表），第一个给出导数的定义： Δx由负到正趋向0时，比值
• 1755年，Euler的《微分学原理》，试图以纯粹 的代数形式研究函数及其微分运算，将微积分从 几何直观和几何论证中解放出来，为现代基于实 数系统的微积分的根本论证开辟了道路。
• 1797年，Lagrange发表《解析函数论》，尝试重 建微积分基础。
•Gauss在笔记中，有分析严格化的路径设计。
•推导了曲边形的面积、曲面面积、立体体积公 式
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之五
——级数论
• 以级数的部分和有极限定义级数收敛并以此定义收敛级 数之和，以此为基础建立了比较完整的级数论
•给出Cauchy准则 •对于正项级数，严格证明了比率判别法和根式判别法 • 对幂级数，得到收敛半径
f (x x) f (x)
x
无限趋向固定的量，该量成为函数f(x)在x的导数。
Bolzano的工作长期湮没无闻、鲜为人知。
10 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (一)生平
柯西（Cauchy, 1789-1857）
忠诚的保王党人 热心的天主教徒 落落寡欢的学者 对后起之秀不甚热心的导师
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 9 Dirichlet的工作
•1829年，在《关于三角级数的收敛性》 中，第一个给出Fourier级数收敛充分条 件的严格证明
• 1837年，《用正弦和余弦表示完全任意 函数》的发表，标志着Fourier级数论的 建立
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 9 Riemann的工作（之一）
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .3波尔查诺（B.Bolzano,1781--1848）的工作
• 给出连续函数的定义：若函数f(x)对于区间内任意的x，只要Δx的绝对值 充分小，差f(x+Δx) -f(x)的绝对值小于任意给定的小正数，则称f(x)在 该区间上连续。该定义与Cauchy的定义无实质性的区别
第二次数学危机
Query 64…. Whether mathematicians… have not their mysteries, and, what is more, their repugnances and contradictions?
——Bishop Berkeley
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .2 19世纪以前的工作