第15章轴对称图形与等腰三角形15．1轴对称图形第1课时轴对称图形01基础题知识点1轴对称图形1．(苏州中考)下列四个图案中，不是轴对称图案的是(B)A B C D2．如图，下面四个图形中，有一个不是轴对称图形，它是(A)3．【关注传统文化】(芜湖期末)无为剔墨纱灯是一种古老的传统手工艺品，灯壁四周绘以花卉、山水、人物等形象，在烛光穿射下频频闪眨，栩栩如生．下列四个无为剔墨纱灯的灯壁图案中不是轴对称图形的是(D)A B C D知识点2对称轴的确定4．下列数字图形中，有且仅有一条对称轴的是(A)5．(黄山期末)下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(B)A．4 B．3 C．2 D．102中档题6．(遵义中考)把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是(C)①②③A B C D7．作图：下面是用小正方形组成的L形图，请你用三种不同的方法分别在图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴．解：如图．8．如图，已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成．请用图形A与B合拼成一个轴对称图形，并把它画在网格中(画出两种结果)．解：答案不唯一，如图．9．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要在其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个灰色的小方格图案成轴对称图形，这样的白色小方格有4个，请在图中设计出一种方案．解：如图所示，答案不唯一．10．(教材P120练习T1变式)画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．根据上表n条对称轴．解：如图．第2课时轴对称01基础题知识点1成轴对称1．如图所示的各组图形中的两个小狗，成轴对称的是(A)2．如图所示：其中，轴对称图形有甲、乙、丙、丁，与甲成轴对称的图形有丁．知识点2线段的垂直平分线3．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，已知AB＝12 cm，则OA＝6cm.知识点3轴对称的性质4．(蒙城月考)如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是(C) A．∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCOB．直线l垂直平分AB，CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形D．AD＝BC，OD＝OC第4题图第5题图5．如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝90°.知识点4轴对称作图6．(教材P122练习T3变式)在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称．解：△A′B′C′如图所示．易错点对称轴位置不确定7．(呼和浩特中考)图中序号(1)，(2)，(3)，(4)对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是(A)A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)02中档题8．下列说法中，正确的是(C)A．设点A，B关于直线MN对称，则线段AB垂直平分直线MNB．如果△ABC≌△A′B′C′，那么一定存在一条直线MN，使△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称C．线段MN上的一点关于直线MN的对称点就是它本身D．两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两侧9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，求∠A′DB的度数．解：根据题意知：△ACD与△A′CD关于CD对称，∴∠A＝∠CA′D.∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°.∴∠A′DB＝∠CA′D－∠B＝10°.10．(安徽期中)如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有(B)A．2个B．3个C．4个D．5个第3课时 平面直角坐标系中的轴对称01 基础题知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标特征1．(阜阳期末)在平面直角坐标系中，点A(7，－2)关于x 轴对称的点A′的坐标是(A ) A ．(7，2) B ．(7，－2) C ．(－7，2) D ．(－7，－2)2．在平面直角坐标系中，点P(4，－2)关于y 轴的对称点在(C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．线段MN 在平面直角坐标系中的位置如图，若线段M′N′与MN 关于y 轴对称，则点M 的对应点M′的坐标为(D )A ．(4，2)B ．(－4，2)C ．(－4，－2)D ．(4，－2)4．已知A ，B 两点关于x 轴对称，且点A 的坐标是(3，－1)，则点A ，B 之间的距离为2． 5．在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(－2，5)，点Q 与点A 关于y 轴对称，点P 与点Q 关于x 轴对称，则点P 的坐标是(2，－5)．6．已知点A(2m ＋n ，2)，B(1，n －m)，当m ，n 分别为何值时，下列条件成立？ (1)A ，B 关于x 轴对称； (2)A ，B 关于y 轴对称．解：(1)∵点A(2m ＋n ，2)，B(1，n －m)关于x 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1，n －m ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1. (2)∵A(2m ＋n ，2)，B(1，n －m)关于y 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，n －m ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1.知识点2 关于坐标轴对称的图形的画法7．(教材P124练习T2变式)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特征，在下面的平面直角坐标系中分别作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1和关于x 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各个顶点的坐标．解：如图所示：A 1(2，1)，B 1(4，－2)，C 1(1，－1)， A 2(－2，－1)，B 2(－4，2)，C 2(－1，1)．8．如图是建有平面直角坐标系的正方形网格，请按下列要求操作：(1)画△ABC ，使A ，B ，C 三点的坐标分别为(3，1)，(4，－1)，(2，－2)；(2)画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC 关于y 轴对称，连接AA′，BB ′.计算四边形AA′B′B 的面积． 解：(1)如图．(2)如图，四边形AA′B′B 的面积为14.02 中档题9．(淮安中考)在平面直角坐标系中，将点A(1，2)的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到点A′，则点A 和点A′的关系是(B )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．将点A 向x 轴负方向平移1个单位长度得点A′10．已知点P (a ＋1，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是(B)A ．a <－1B ．－1<a <32C ．－32<a <1D ．a >3211．点P(－2，－4)与点Q(6，－4)的位置关系是(C) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线x ＝2对称D ．关于直线y ＝2对称12．(福州中考)如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(B )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D13．已知点A(－1，－2)，B(1，3)，将点A 向上平移5个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称． 14．(蚌埠期末)如图，已知A(－3，－3)，B(－2，－1)，C(－1，－3)是平面直角坐标系上三点．(1)请画出△ABC和△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标；(2)若将点B向上平移h个单位长度，使其落在△A1B1C1的内部，指出h的取值范围．解：(1)所作图形如图所示．A1(－3，3)，B1(－2，1)，C1(－1，3)．(2)由图可得2＜h＜4.15．(铜陵期末)如图，在平面直角坐标系中，A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1)．(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)写出点的坐标(直接写答案)：A1(3，2)；B1(4，－3)；C1(1，－1)；(3)△A1B1C1的面积为6.5；(4)在y轴上画出点P，使PB＋PC最小．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(4)如图所示，P点即为所求．在直线l，l上分别求分别作点P关于两直)15．2 线段的垂直平分线01 基础题知识点1 用尺规作线段的垂直平分线1．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是(C)2．如图，一张纸上有线段AB.(1)请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)； (2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．解：(1)如图．(2)对折，使得点A 与点B 重合，则折痕所在的直线为线段AB 的垂直平分线．知识点2 线段垂直平分线的性质3．(合肥包河区期末)如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD.如果AD ＝5，CD ＝2，那么BC ＝(D)A ．2B ．3C ．4D ．7第3题图 第4题图4．如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是(C) A ．AB ＝AD B ．AC 平分∠BCD C ．AB ＝BD D ．BE ＝DE5．(黄山月考改编)如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D.若AB ＝6，△ABD 的周长为15，则AC ＝9．6．如图，AD ⊥BC ，BD ＝CD ，点C 在AE 的垂直平分线上．若AB ＝5 cm ，BD ＝3 cm ，求BE 的长．解：∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ， ∴AB ＝AC.∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC ＝CE. ∴CE ＝AB.∵AB ＝5 cm ，BD ＝3 cm ， ∴CE ＝5 cm ，CD ＝3 cm .∴BE ＝BD ＋DC ＋CE ＝11 cm .知识点3 线段垂直平分线的判定7．在锐角△ABC 内一点P 满足PA ＝PB ＝PC ，则点P 是△ABC(D) A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点D ．三边垂直平分线的交点8．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，并且DE ＝DF ，连接AD ，EF.求证：AD 垂直平分EF.证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠AED ＝∠AFD ＝90°. 在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF(HL )． ∴AE ＝AF.∴点A ，D 在线段EF 的垂直平分线上，即AD 垂直平分EF.知识点4 线段垂直平分线的应用9．(教材P130练习T1变式)为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇所属A 村，B 村，C 村的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图所示)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示．02 中档题10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，则AD 与BC 的大小关系是(A )A ．AD ＞BCB ．AD ＝BC C ．AD ＜BC D ．无法比较 11．(本课时T5变式)如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为6．第11题图 第12题图12．如图，在△ABC 中，边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，且AP ＝5，那么PC ＝5． 13．(安庆期末)已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝90°，则∠CAD ＝110°或20°．14．如图所示，点P 在线段AB 的垂直平分线上，PC ⊥PA ，PD ⊥PB ，AC ＝BD.求证：点P 在线段CD 的垂直平分线上．证明：∵点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴PA ＝PB.∵PC ⊥PA ，PD ⊥PB ， ∴∠APC ＝∠BPD ＝90°. 在Rt △APC 和Rt △BPD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，PA ＝PB ，∴Rt △APC ≌Rt △BPD(HL )．∴PC＝PD.∴点P在线段CD的垂直平分线上．03综合题15．如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意王云同学的判断吗？请说明理由；(2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．解：(1)王云同学的判断是正确的．理由如下：∵AB＝AD，∴点A在BD的垂直平分线上．∵CB＝CD，∴点C在BD的垂直平分线上．∴AC为BD的垂直平分线．∴BE＝DE，AC⊥BD.(2)由(1)得AC⊥BD.∴S四边形ABCD＝S△CBD＋S△ABD＝12BD·CE＋12BD·AE＝12BD·AC＝12ab.16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为(A)A．10°B．15°C．40°D．50°15．3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质01基础题知识点1等边对等角1．(教材P133练习T1(1)变式)等腰直角三角形的一个底角的度数是(B)A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(D)A．70°B．55°C．50°D．40°第2题图第3题图3．(新疆中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为(B)A．85°B．75°C．60°D．30°4．(江西中考)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75°．图1图25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB.∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD.6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠ADE的度数．解：∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL)．∴∠DAE＝∠BAD＝28°.又∵AD＝AE，∴∠ADE ＝12(180°－∠DAE)＝12×(180°－28°)＝76°.知识点2 等腰三角形的“三线合一”7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，∠BAD ＝20°，则∠C ＝70°.第7题图 第9题图8．在△ABC 中，AB ＝AC.(1)若AD 平分∠BAC ，则∠BDA ＝90°，BD ＝CD ； (2)若BD ＝CD ，则AD 平分∠BAC ，∠ADC ＝90°； (3)若AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ．9．(教材P134练习T3变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，以下结论中错误的是(B) A ．△ABD ≌△ACD B ．∠B ＝∠BAD C ．D 为BC 的中点D ．AD 是△ABC 的角平分线10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．求证：BE ＝CE.证明：∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴AD 垂直平分BC. ∴BE ＝CE.11．(北京中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠C.又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC. ∵BE ⊥AC ，∴∠BEC ＝∠ADB ＝90°.∴∠C ＋∠CBE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝90°. ∴∠CBE ＝∠BAD.易错点 未分类讨论致错12．(教材P 134练习T 1(3)变式)一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为80°，20°或50°，50°．13．等腰三角形的边长分别是4和5，则该等腰三角形的周长为13或14．02 中档题14．(台州中考)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC.若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是(C )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD .∠EBC ＝∠ABE第14题图 第15题图15．【方程思想】如图，AB ∥CD ，BE 垂直平分AD ，DC ＝BC.若∠A ＝70°，则∠C ＝(A ) A ．100° B ．110° C ．115° D ．120° 16．(绵阳中考)如图，AC ，BD 相交于点O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD ＝75°．第16题图 第17题图17．(教材P136练习T3变式)在如图所示的钢架中，焊上等长的钢条P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，P 4P 5来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2，∠P 3P 2P 4＝54°，则∠A 的度数是18°．18．(教材P140习题T11变式)已知：如图，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，AF ⊥CD .求证：点F 是CD 的中点．证明：连接AC ，AD ， 在△ABC 和△AED 中，⎩⎨⎧AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED (SAS)． ∴AC ＝AD .∵AF ⊥CD ，∴CF ＝FD (等腰三角形三线合一)． ∴点F 是CD 的中点．19．(阜阳联考期末)如图，△ABC 是等腰三角形，D ，E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点，且BD ＝CE ，连接DE 交底BC 于点G.求证：GD ＝GE.证明：过点E 作EF ∥AB 交BC 延长线于点F. ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB. ∵EF ∥AB ， ∴∠F ＝∠B.∵∠ACB ＝∠FCE ， ∴∠F ＝∠FCE. ∴CE ＝EF.∵BD ＝CE ，∴BD ＝EF.在△DBG 和△EFG 中，⎩⎨⎧∠DGB ＝∠EGF ，∠B ＝∠F ，BD ＝FE ，∴△DBG ≌△EFG(AAS )． ∴GD ＝GE.03 综合题20．如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 与CD 相交于点O.(1)求证：AD ＝AE ；(2)连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的位置关系并说明理由．解：(1)证明：在△ACD 和△ABE 中，∵∠CAD ＝∠BAE ，∠ADC ＝∠AEB ＝90°，AC ＝AB ， ∴△ACD ≌△ABE(AAS )． ∴AD ＝AE.(2)OA ⊥BC.理由：在Rt △ADO 和Rt △AEO 中， ∵OA ＝OA ，AD ＝AE ，∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO，即OA是∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.21．【方程思想】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(B)A．40°B．36°C．30°D．25°第2课时等边三角形的性质01基础题知识点等边三角形的性质1．如图所示，已知△ABC是等边三角形．根据图形填空：(1)边的关系：AB＝BC＝AC；(2)角的关系：∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°；(3)若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°；(4)若AE＝EC，则BE⊥AC，∠CBE＝∠ABE＝30°；(5)若∠ACF＝∠BCF，则CF⊥AB，AF＝BF；(6)等边三角形是轴对称图形，它的对称轴是各边的垂直平分线，它有3条对称轴．第1题图第2题图2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)A．100°B．80°C．60°D．40°3．(蚌埠期末)如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为(D)A．30°B．20°C．25°D．15°第3题图第4题图4．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．5．(湘潭中考)如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝30°．第5题图第6题图6．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝40°，则∠β＝20°．7．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°.∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中，⎩⎨⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△BAE ≌△ACD(SAS )． ∴BE ＝AD.02 中档题8．(福建中考)如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于(A )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°第8题图 第9题图9．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝(C) A ．30° B ．20° C ．15° D ．100°10．如图，△ABC 是等边三角形，BC ＝BD ，∠BAD ＝20°，则∠BCD 的度数为50°．第10题图 第11题图11．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD ＝AE ，AD 与CE 相交于点F ，则∠DFC ＝60度．12．如图，等边△ABC 中，点D 为AC 边的中点，过点C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE.求证：∠CAE ＝∠ABD.证明：∵△ABC 是等边三角形，D 为AC 边的中点， ∴BD ⊥AC.∴∠BDA ＝90°. ∵AE ⊥CE ，∴∠E ＝∠BDA ＝90°. ∵CE ∥AB ， ∴∠ACE ＝∠BAD.∴90°－∠ACE ＝90°－∠BAD ， 即∠CAE ＝∠ABD.03 综合题13．在△ABC 中，AB ＝AC ，在△ABC 的外部作等边△ACD ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接BD.(1)如图1，若∠BAC ＝100°，求∠BDF 的度数；(2)如图2，∠ACB 的平分线交AB 于点M ，交EF 于点N ，连接BN.①补全图2；②若BN ＝DN ，求证：∠MNB ＝∠MBN.解：(1)在等边△ACD 中，∠CAD ＝∠ADC ＝60°，AD ＝AC ＝DC. ∵E 为AC 的中点，∴∠ADE ＝12∠ADC ＝30°.∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB.∵∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝160°， ∴∠ADB ＝∠ABD ＝10°.∴∠BDF ＝∠ADF －∠ADB ＝20°. (2)①补全图形，如图．②证明：连接AN.∵CM 平分∠ACB ，∴设∠ACM ＝∠BCM ＝α. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α. 在等边△ACD 中，∵E 为AC 的中点，∴DN ⊥AC. ∴NA ＝NC.∴∠NAC ＝∠NCA ＝α. ∴∠DAN ＝60°＋α.在△ABN 和△ADN 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BN ＝DN ，AN ＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(SSS )．∴∠ABN ＝∠ADN ＝30°，∠BAN ＝∠DAN ＝60°＋α. ∴∠BAC ＝∠BAN ＋∠NAC ＝60°＋2α.在△ABC 中，∠BAC ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°， ∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°. ∴α＝20°.∴∠NBC ＝∠ABC －∠ABN ＝10°. ∴∠MNB ＝∠NBC ＋∠NCB ＝30°.∴∠MNB＝∠MBN.14．(教材P140习题T10变式)如图，在等边△ABC中，点D，E为线段BC，AC上动点且BD＝CE，连接AD，BE相交于点F，连接CF，下面结论：①△ABD≌△BCE；②∠AFB＝120°；③若BD＝CD，则F A＝FB＝FC；④若∠AFC＝90°，则AF＝3BF.其中结论正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个第3课时等腰三角形的判定01基础题知识点1等腰三角形的判定1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(B)A．a＝3，b＝3，c＝4B．a∶b∶c＝4∶5∶6C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶22．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD等于(A)A．3 cmB．4 cmC．1.5 cmD．2 cm3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则△DCE是(A)A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．无法确定第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°.若AC＝5 cm，则AB＝5_cm．5．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠1.∴EA＝ED，即△ADE是等腰三角形．6．(蚌埠期末)已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E.求证：CE＝CF.证明：∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°. ∵CD 为AB 边上的高， ∴∠ADC ＝90°.∴∠A ＋∠ACD ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD.∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠CBE.∴∠CFE ＝∠BCD ＋∠CBE ＝∠A ＋∠ABE. ∵∠CEF ＝∠A ＋∠ABE ， ∴∠CEF ＝∠CFE. ∴CE ＝CF.知识点2 等边三角形的判定7．有一个外角是120°，另两个外角相等的三角形是(C ) A ．不等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定8．在下列命题中：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是①④.(只需填写序号)9．如图，△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 分别在BC ，AB ，CA 边延长线上，且BE ＝AF ＝CD.求证：△DEF 是等边三角形．证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC ＝BC. ∴∠EAF ＝∠EBD ＝120°. ∵BE ＝AF ，∴BE ＋AB ＝FA ＋AC ，即AE ＝CF. 在△AEF 和△BDE 中，⎩⎨⎧AF ＝BE ，∠EAF ＝∠DBE ，AE ＝BD ，∴△AEF ≌△BDE(SAS )． ∴EF ＝ED.同理可得△AEF ≌△CFD ，∴EF ＝FD. ∴EF ＝ED ＝FD.易错点选择腰的标准不明确致错10．在如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点．若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有(C)A．6个B．7个C．8个D．9个02中档题11．(龙岩中考)在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)12．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，已知∠BED＋∠CFD＝240°，则∠BDC＝120°．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．(1)如图1，若AD＝BD，求∠A的度数；(2)如图2，在(1)的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC.求证：△EBC是等边三角形．解：(1)∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA.∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝∠DBC，∴∠A＝∠DBA＝∠DBC.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠DBA＋∠DBC＝90°.∴∠A＝30°.(2)证明：∵AD＝BD，DE⊥AB，∴AE＝BE.∴CE＝BE.∴∠EBC＝60°.∴△EBC是等边三角形．14．(合肥瑶海区期末)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为70°或40°或20°．等腰三角形中常见辅助线的作法【方法指导】对于单一等腰三角形作“三线合一”的图形，是作底边上的高、中线还是顶角平分线可根据解题需要而定；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的图形，则需巧作辅助线，下面就通过以下几种图形说明巧作辅助线的方法：图①作底边上的高；图②作顶角的平分线；图③作中线；图④连接AD并延长，再证其是“三线”之一即可．1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，若AB＝6，则AC＝6．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.若BC＝5，CM＝2，则CN＝3．3．如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形．证明：连接AG，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，AD＝AE.又∵G为BC中点，∴AG⊥BC.∴AG⊥DE且平分DE.∴DG＝GE.∴△DGE是等腰三角形．第4课时 含30°角的直角三角形的性质01 基础题知识点 含30°角的直角三角形的性质1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝8，则BC ＝(C ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2第1题图 第3题图 2．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则BC ∶AB 等于(B) A ．2∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．2∶33．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量∠ABC ＝30°，则树高为(B )A ．6米B ．9米C ．10米D ．12米4．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，ED 垂直平分BC ，ED ＝3，则CE 的长为6．第4题图 第5题图5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，CD ＝2，则BC ＝6． 6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A ＝30°.求证：AB ＝4BD.证明：∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， ∴BC ＝12AB ，∠B ＝60°.又∵△BCD 中，CD ⊥AB ， ∴∠BCD ＝30°.∴BD ＝12BC.∴BD ＝14AB ，即AB ＝4BD.7．(阜阳联考期末)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，BE ＝4，求AC 的长．解：∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ＝4.∴∠BAE ＝∠B ＝15°.∴∠AEC ＝∠BAE ＋∠B ＝15°＋15°＝30°. ∵∠C ＝90°， ∴AC ＝12AE ＝12×4＝2.易错点 在运用含30°角的直角三角形的性质时，忽略分类讨论致错8．在△ABC 中，BD 是△ABC 的高，且AB ＝AC ＝2BD ，则∠DBC 的度数为15°或75°．02 中档题9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB ⊥AD ，AD ＝4 cm ，则BC 的长为(B) A ．8 cm B ．12 cm C ．15 cm D ．16 cm第9题图 第10题图10．(扬州中考)如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h ＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v ＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．12．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB.若AB ＝8 cm ，则BD ＝4_cm ，BE ＝2_cm ．第12题图 第13题图13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF14．如图，一艘轮船早上8时从点A 向正北方向出发，小岛P 在轮船的北偏西15°方向．轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B 处，小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向．(1)求此时轮船距小岛为多少海里？(2)在小岛P 的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．解：(1)∵∠PAB ＝15°，∠PBC ＝30°， ∴∠PAB ＝∠APB.∴PB ＝AB ＝15×3＝45(海里)． (2)不会有触电危险．理由如下： 过点P 作PD ⊥BC 于点D ，在Rt △PBD 中，∠PBD ＝30°， PB ＝45， ∴PD ＝12PB ＝22.5.∵22.5>20.∴轮船继续向前航行，不会有触礁危险．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，AE ＝8，求CE 的长．解：连接AD ， ∵AB ＝AC ， ∠BAC ＝120°， D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∠B ＝∠C ＝30°. ∴∠DAC ＝12∠BAC ＝60°.∵DE ⊥AC 于点E ，∴∠AED ＝90°. ∴∠ADE ＝30°.在Rt △ADE 中，AE ＝8，∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ＝16.在Rt △ADC 中，AD ＝16，∠C ＝30°， ∴AC ＝2AD ＝32.16．已知，如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD. (1)求证：DB ＝DE ；(2)若点F 是BE 的中点，连接DF ，且CF ＝2，求等边△ABC 的边长．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°. 又∵BD 是中线， ∴BD 平分∠ABC. ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE.又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ， ∴∠E ＝∠CDE ＝30°. ∴∠DBC ＝∠E. ∴DB ＝DE.(2)由(1)可知DB ＝DE ， 又∵点F 是BE 的中点， ∴DF ⊥BE.∵∠ACB ＝60°，∴∠CDF ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵△CDF 为直角三角形， ∴CF ＝12CD.∴CD ＝4.∵BD 是中线， ∴AC ＝2CD ＝8， 即等边△ABC 的边长为8.小专题8 等腰三角形中的分类讨论 ——教材P134练习T1(3)的变式与应用教材母题：(教材P 134练习T 1(3))如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于20°或50°．【思路点拨】 先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．当80°是等腰三角形的顶角时，则底角就是12×(180°－80°)＝50°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－80°×2＝20°，所以这个三角形的最小内角的度数为20°或50°.(1)在解有关等腰三角形求角度的问题时，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键；(2)在解有关等腰三角形边长问题时，通常也要进行讨论，注意分类讨论后一定要运用三边关系检验，所求的结果若能够组成三角形，才能继续进行有关的计算．1．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为(C) A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或4 2．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为(C ) A ．50° B ．80° C ．50°或80° D ．40°或65°3．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个等腰三角形的顶角等于70°或40°．4．(通辽中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°． 5．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长． 解：在△ABC 中，AB ＝AC ，且AD ＝CD ，设AB ＝x ，BC ＝y. ①当AB ＋AD ＝15，DC ＋BC ＝12时，则⎩⎨⎧x2＋x ＝15，x 2＋y ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7.②当AB ＋AD ＝12，BC ＋CD ＝15时，有⎩⎨⎧x2＋x ＝12，x 2＋y ＝15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.且这两种情况三角形的三边都符合三角形的三边关系，故这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11.6．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B 的度数． 解：①当∠A 为锐角时，如图1.∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，∴∠A ＝40°.∴∠B ＝(180°－∠A)÷2＝70°.图1 图2②当∠A为钝角时，如图2.∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，∴∠1＝40°.∴∠BAC＝140°.∴∠B＝∠C＝(180°－140°)÷2＝20°.综上所述，∠B的度数为70°或20°.7．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，请画出这样的四个图形．解：答案不唯一，如图．小专题9 构造等腰三角形的常用方法类型1 利用平行线构造等腰三角形①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形．若∠1＝∠2，AC ∥OB ，则△OAC 为等腰三角形． ②作腰的平行线构造等腰三角形．若AB ＝AC ，DE ∥AC ，则△BDE 为等腰三角形．③作底边的平行线构造等腰三角形．若AB ＝AC ，DE ∥BC ，则△ADE 为等腰三角形．1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于点F.求证：DF ＝EF.证明：过点D 作DM ∥AC 交BC 于点M ， ∴∠DMB ＝∠ACB ，∠FDM ＝∠E. ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB. ∴∠B ＝∠DMB.∴BD ＝MD. ∵BD ＝CE ，∴MD ＝CE.在△DMF 和△ECF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，∠MFD ＝∠CFE ，MD ＝CE ，∴△DMF ≌△ECF(AAS )． ∴DF ＝EF.2．已知△ABC 为等边三角形，点D 为AC 上的一个动点，点E 为BC 延长线上一点，且BD ＝DE. (1)如图1，若点D 在边AC 上，猜想线段AD 与CE 之间的关系，并说明理由； (2)如图2，若点D 在AC 的延长线上，(1)中的结论是否成立，请说明理由．解：(1)AD ＝CE.理由：过点D 作DP ∥BC ，交AB 于点P. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠APD ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠PDA ＝60°. ∴△APD 也是等边三角形． ∴AP ＝PD ＝AD.∵DB ＝DE ，∴∠DBC ＝∠DEC. ∵DP ∥BC ，∴∠PDB ＝∠CBD.∴∠PDB ＝∠DEC.又∵∠BPD ＝∠A ＋∠ADP ＝120°，∠DCE ＝∠A ＋∠ABC ＝120°， ∴∠BPD ＝∠DCE.在△BPD 和△DCE 中，⎩⎨⎧∠PDB ＝∠CED ，∠BPD ＝∠DCE ，DB ＝ED ，∴△BPD ≌△DCE(AAS )． ∴PD ＝CE.∴AD ＝CE. (2)AD ＝CE 成立．理由：过点D 作DP ∥BC ，交AB 的延长线于点P. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠APD ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠PDC ＝60°. ∴△APD 也是等边三角形． ∴AP ＝PD ＝AD.∵DB ＝DE ，∴∠DBC ＝∠DEC. ∵DP ∥BC ，∴∠PDB ＝∠CBD. ∴∠PDB ＝∠DEC.在△BPD 和△DCE 中，⎩⎨⎧∠PDB ＝∠CED ，∠P ＝∠DCE ＝60°，DB ＝ED ，∴△BPD ≌△DCE(AAS )．∴PD ＝CE. ∴AD ＝CE.类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，故可以延长CD 交AB 于点E ，则△ACE 是等腰三角形．3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BE 是角平分线，CD ⊥BE 交BE 的延长线于点D ，求证：BE ＝2CD.证明：延长BA ，CD 相交于点Q. ∵∠CAQ ＝∠BAE ＝∠BDC ＝90°， ∴∠ACQ ＋∠Q ＝90°， ∠ABE ＋∠Q ＝90°. ∴∠ACQ ＝∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中，⎩⎨⎧∠ABE ＝∠ACQ ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAQ ，∴△ABE ≌△ACQ(ASA )．∴BE ＝CQ. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠QBD ＝∠CBD.∵∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDQ ＝90°.在△QDB 和△CDB 中，⎩⎨⎧∠QBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∠BDQ ＝∠BDC ，∴△QDB ≌△CDB(ASA )．∴DQ ＝CD. ∴BE ＝CQ ＝2CD.类型3 运用倍角关系构造等腰三角形已知在△ABC 中，∠ACB ＝12∠ABC.①如图1，作∠ABC 的平分线BD ，则可构造等腰△BDC ；②如图2，∠BCE ＝2∠ACB ，交BA 的延长线于点E ，则可构造等腰△BCE ；③如图3，延长CB 至点D ，使BD ＝AB ，则可构造两个等腰三角形，如△ABD ，△ADC ； ④如图4，作∠BCE ＝∠ACB ，交AB 的延长线于点E ，则可构造等腰△BCE.。