第七章 无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。

（2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。

（3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

（4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。

（5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

（6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

（7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

（10） 掌握函数α)1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x+-的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

（11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。

二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1 常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞=1n n u 收敛于和s ，则级数∑∞=1n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞=+1n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞=1n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数∑∞=1n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即0lim =∞→n n u ．(证明)；一、概念定义:设已给定数列1u ,2u ,…, n u …,称形式加法1u +2u +…+n u +…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为∑∞=1n nu, 即∑∞=1n nu=1u +2u +…+n u +…, 其中称n u 为一般项.将其前n 项的和: n S =1u +2u +…+n u 称为级数的前n 项的部分和,或简称部分和. 注1: 由上我们便得到一个数列1S ,2S ,…, n S ,…,从形式上不难知道∑∞=1n nu=n n S ∞→lim ,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当∞→n 时,若部分和数列{}n S 有极限S ,即 S =n n S ∞→lim ,就称常数项级数∑∞=1n nu收敛,且称S 为其和,并记为: S =1u +2u +…+n u +… , 若数列{}n S 没有极限,就称∑∞=1n nu发散.注1: 当级数收敛时,其部分和n S 又可看成为S 的近似值. 两者之差n n S S r -==1+n u +2+n u +… 称为级数∑∞=1n n u 的余项.用n S 代替S 所产生的误差就是它的绝对值,即 n r .注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数∑∞=1n nu的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列{}n S 的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设{}n S 为一数列,令1u =1S ,2u =12S S -,…,n u =1--n n S S , 2,1=n , 则n nk k S u =∑=1这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数): +++++-12n aq aq aq a 的敛散性.其中0≠a解: 我们先考虑其部分和: n S =12-++++n aqaq aq a利用中学知识,得 n S =qq a n --1)1( (1≠q 时)(I)当1<q 时,由于 n n S ∞→lim =q q a n n --∞→11lim =qa-1, 故几何级数收敛,且收敛于qa-1. (II)当1>q 时,由于n n S ∞→lim =qq a nn --∞→11lim 不存在,故此时几何级数发散.(III) 当1=q 时,此时几何级数为:a a a a ++++,⇒n S =na ∞→(∞→n )此时级数发散.(IV)当1-=q 时,级数为 a a a a -+-,⇒n S =a n ])1(1[1---, n n S ∞→lim 不存在.故此时级数发散.∴ 综上所述,几何级数在1<q 时收敛,在1≥q 时发散.[例2] 证明级数+++⋅+⋅+⋅)2(1531421311n n 收敛. 证: 首先,由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+21121)2(1n n n n ⇒ n S =)2(1531421311++⋅+⋅+⋅n n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-412121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-513121+…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21121n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++++)21514131()131211(21n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+211121121n n →)211(21+=43∴ 原级数收敛,且收敛于43. [例3] 证明调和级数 +++++n131211发散. 证: n S =n 131211++++=⎰21dx +⎰3221dx +…+dx n n n ⎰+11≥⎰211dx x +dx x ⎰321+…+dx x n n ⎰+11=dx xn ⎰+111=1ln +n n x =)1ln(+n 当∞→n 时,∞→n S .显然n n S ∞→lim 不存在. 故原级数发散.一、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→n n u .证: 设∑∞=1n nu收敛于S . 即n n S ∞→lim =S .)(lim lim -∞→∞→-=n n n n n S S u 0lim lim 1=-=-=-∞→∞→S S S S n n n n注1: 若反之,则不一定成立.即0lim =∞→n n u , 原级数∑∞=1n n u 不一定收敛. 如调和级数∑∞=11n n发散,但01lim=∞→nn . 注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若0lim ≠∞→n n u ,则原级数∑∞=1n nu一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: 1u +2u +…+n u +…的部分和序列为{}n S1+k u +2+k u +…+n k u ++…的部分和序列为{}n σ. 则 k n k n S S -=+σ, 由于k 为有限数,则k S 为一个有限数. 则 n n σ∞→lim 与n k n S +∞→lim 同敛散.若原级数收敛,则n k n S +∞→lim =n n S ∞→lim =S . 则{}n σ收敛. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…收敛 若原级数发散,则n n S ∞→lim 不存在, 故n n σ∞→lim 也不存在. 则{}n σ发散. 即1+k u +2+k u +…+n k u ++…发散.性质3: 若级数∑∞=1n nu收敛于S ,则它的各项都乘以一常数k 所得的级数∑∞=1n nku收敛于kS .即∑∞=1n nku=k∑∞=1n nu性质4: 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nν分别收敛于S 和σ,则级数∑∞=±1)(n n nuν收敛于σ±S .注1:∑∞=±1)(n n nuν称为级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν的和与差.注2: 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nν之中有一个收敛,另一个发散,则∑∞=±1)(n n nuν发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某n 项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: +-++-+-111111是发散的,但 +-++-+-)11()11()11(是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n 的敛散性.解: 因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛131n n与级数∑∞=++1)2)(1(1n n n 均收敛,由性质4可知∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛1)2)(1(131n n n n =∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131n n +∑∞=++1)2)(1(1n n n 收敛.§7.2 常数项级数的审敛法一、内容要点正项级数及其审敛法： 1．正项级数的概念； 2．基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n}有界．(证明)3．比较审敛法：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且u n≤ v n(n = 1, 2, …)．若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛；反之，若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．(证明) 推论：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当n ≥ N 时有u n ≤ kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当n ≥ N 时有u n ≥ kv n (k > 0)成立，则级数∑∞=1n n u 发散． 4．比较审敛法的极限形式：设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数， (1) 如果)0( lim +∞<≤=∞→l l v u nnn ，且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛； (2) 如果0lim >=∞→l v u n n n 或+∞=∞→nnn v u lim ，且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．(证明)5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设∑∞=1n n u 为正项级数，如果 ρ=+∞→nn n u u 1lim，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；6．根值审敛法(柯西判别法)：设∑∞=1n n u 为正项级数，如果 ρ=∞→n n n u lim ，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；7．极限审敛法：设∑∞=1n n u 为正项级数， (1) 如果0lim >=∞→l nu n n (或+∞=∞→n n nu lim )，则级数∑∞=1n n u 发散； (2) 如果p >1，而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛．(证明)交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念：2．莱布尼茨定理：如果交错级数∑∞=--11)1(n n u n 满足条件：(1) u n ≥ u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)； (2) 0lim =∞→n n u则级数收敛，且其和s ≤ u 1，其余项r n 的绝对值| r n | ≤ u n + 1． (证明)绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念；2. 定理：如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定收敛．(证明) 一、 教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以1-后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设∑∞=1n nu为一正项级数, n S 为其部分和.显然部分和序列{}n S 是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理. 定理: 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔{}n S 有界.证: “⇒”∑∞=1n nu收敛⇒{}n S 收敛⇒{}n S 有界.“⇐” {}n S 有界,又{}n S 是一个单调上升数列⇒n n S ∞→lim 存在⇒∑∞=1n nu收敛.定理1(比较审敛法) 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nν是两个正项级数,且n n u ν≤ ),3,2,1( =n .那么1) 如果∑∞=1n nν收敛,则∑∞=1n nu收敛.2) 如果∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nν发散.证: 设n S 和n σ分别表示∑∞=1n nu和∑∞=1n nν的部分和,显然由n n u ν≤⇒n S ≤n σ(1)∑∞=1n nν收敛⇒n σ有界⇒n S 有界⇒∑∞=1n nu也收敛.(2)∑∞=1n nu发散⇒n S 无界⇒n σ无界⇒∑∞=1n nν也发散.推论: 设两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν,如果对于N n ≥(N 为某一自然数)的n ,恒成立不等式n n k u ν≤(0>k 的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论. [例1]: 讨论p -级数 +++++p p p n131211的敛散性.其中常数0>p . 解 (1) 当1≤p 时,因n n p 11≥,而∑∞=11n n 发散, ∴∑∞=11n p n= +++++p p p n 131211发散(2) 当1>p 时,对于任意实数),1[+∞∈x ,总存在自然数k ,使得k x k <≤-1),3,2( =k ,因此p p x k 11≤,⇒ dx x dx k k k k p k k p p ⎰⎰--≤=11111 ),3,2( =k , 于是 n S =p p p n 131211++++dx x dx x dx x n n pp p ⎰⎰⎰-++++≤132211111=⎰+npdx x111=1111--+-p n p <111-+p . 这表明n S 有上界,又{}n S 单调上升,故n n S ∞→lim 存在⇒p -级数 +++++pp p n 131211收敛.综上所述,当1≤p 时, p -级数发散;当1>p 时p -级数收敛.[例2] 若正项级数∑∞=1n n a 收敛,则 (1) ∑∞=+11n n n a a 收敛, (2)∑∞=1n n na 收敛, (3)∑∞=12n na 收敛.证: (1)由n nn n a a a a =+≤+011, 由于正项级数∑∞=1n n a 收敛,则由比较审敛法, 知∑∞=+11n n n a a 收敛(2))1(21]1)[(21222na n a n a n n n +=+≤, 由于正项级数∑∞=1n na收敛,∑∞=121n n 收敛,则∑∞=1n n n a 收敛,(3)由于∑∞=1n na收敛,则0lim =∞→n n a ,则N ∃,当N n >时,1<n a ,从而n n a a <2,则由比较审敛法,则∑∞=12n na收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ν,如果存在极限:l u nnn =∞→νlim(1) 当+∞<<l 0,则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν同时收敛或同时发散.(2) 当0=l 时,如果∑∞=1n nν收敛,则级数∑∞=1n nu必收敛.(3) 当+∞=l ,如果∑∞=1n nν发散,则∑∞=1n nu必发散.证: 1)因+∞<<l 0,根据极限的定义,对于2l=ε,必存在正整数N ,当N n ≥时,恒成立不等式2l l u nn<-ν, 即l l l u l l l n n 23222=+<<-=ν ⇒ n n n l u l νν2320<<< 由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散. 2) 0=l ,即0lim=∞→nnn u ν,则存在N ,当N n ≥时,1<nnu ν,得 n n u ν<,由比较审敛法知,如果级数∑∞=1n nν收敛,则级数∑∞=1n nu必收敛.3) +∞=l ,即+∞=∞→nnn u νlim,则存在N ,当N n ≥时,1>nnu ν,得 n n u ν>,比较审敛法知,当∑∞=1n nν发散,则∑∞=1n nu必发散.[例3] 证明∑∞=-121n nn 收敛.证: 由1211lim2121lim =-=-∞→∞→nn nnn n n,又 ∑∞=121n n 收敛,则由比较审敛法的极限形式⇒ ∑∞=-121n nn 收敛 定理2: (达朗贝尔D ’Alembert 判别法) 设正项级数∑∞=1n n u ,如果极限ρ=+∞→nn n u u 1lim,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=+∞→n n n u u 1lim 时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法. [例4] 证明∑∞=-+⋅⋅-+⋅⋅1))1(41(951))1(32(852n n n 收敛. 证: 1434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论∑∞=1n nnx(0>x )的敛散性.解: x x n n nx x n u u n n n n nn n =+=+=∞→+∞→+∞→1lim )1(lim lim 11 当10<<x 时, 由比值审敛法知,原级数收敛. 当1>x 时, 由比值审敛法知,原级数发散. 当1=x 时,判别法失效.但此时原级数∑∞=1n nnx =∑∞=1n n 发散.∴ 10<<x 时,原级数收敛.;1≥x 时,原级数发散.定理3: (Cauchy 判别法) 设∑∞=1n nu为正项级数,如果ρ=→n n n u 0lim ,则1) 当1<ρ时,级数收敛;2) 当1>ρ(或为∞+)时,级数发散. 3) 当1=ρ时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy 判别法为根值审敛法.[例6] 证明∑∞=-+12)1(3n nn收敛. 证: 1212)1(3lim lim 1<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→∞→nn nn n n n u ,故由根值审敛法知,原级数收敛. 任意项级数的敛散性一、 交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:+-+-4321u u u u 或 -+-+-4321u u u u ,其中0≥n u ),2,1( =n定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数 +-+-4321u u u u 满足:1) 1+≥n n u u , 2) 0lim =∞→n n u则级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛,其和1u S ≤,余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证: 先考察交错级数∑∞=--11)1(n n n u 前n 2项的和n S 2,并写成)()()(21243212n n n u u u u u u S -++-+-=- ,或 n n n n u u u u u u u u S 21222543212)()()(--------=--根据条件(1)可知:n S 2是单调增加的,且12u S n <,即n S 2有界,故 12lim u S S n n ≤=∞→再考察级数的前12+n 项的和12+n S ,显然12212+++=n n n u S S ,由条件(2),得S u S u S S n n n n n n n n n =+=+=+∞←∞→+∞→+∞→12212212lim lim )(lim lim最后,由于S S S n n n n ==+∞→∞→122lim lim ,得 S S n n =∞→lim ,即交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛于S ,且1u S ≤,其余项n r 的绝对值仍为收敛得交错级数,所以14321+++++≤+-+-=n n n n n n u u u u u r . [例1] 证明交错级数∑∞=+-111)1(n n n收敛. 证: (1) 1111+=+>=n n u n n u , (2) 01lim lim ==∞→∞→n u n n n .由上述定理知, 交错级数∑=+-11)1(n n n收敛.且其和1≤S . 一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数∑∞=1n nu,其中n u ( ,2,1=n )为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设∑∞=1n nu为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数∑∞=1n nu收敛,就称∑∞=1n nu绝对收敛;若∑∞=1n nu收敛,但∑∞=1n nu不收敛,就称∑∞=1n nu为条件收敛.定理2: 若任意项级数∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛.证: 因n n n u u u 20≤+≤,且级数∑∞=12n nu收敛,由正项级数的比较判别法知,级数)(1n n nu u+∑∞=收敛,再由级数的性质4知级数 ∑∞=1n n u =])[(1n n n n u u u -+∑∞= 收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: ∑∞=--111)1(n n n 收敛,但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n n n 为调和级数是发散的. [例2] 证明∑∞=1!n nn α=+++!!22n nααα对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明∑∞=1!n nn α是收敛的.事实上,对α∀,!)!1(lim1n n nn n αα++∞→=101lim<=+∞→n n α.由比值判别法知,∑∞=1!n nn α是收敛的,所以∑∞=1!n nn α对),(∞-∞∈∀α都是绝对收敛的.[例3] 证明∑∞=--111)1(n pn n 在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛. 证: 首先,我们知道∑∞=--111)1(n p n n 为一个莱布尼兹级数,且有当∞→n 时,pn1单调下降趋于零.故对0>∀p ,原级数∑=--11)1(n p n n总是收敛的. 其次,考虑其绝对值级数∑∞=11n p n ,也就是p -级数.由上一节的例1的结果知,当10≤<p 时发散, 1>p 时收敛.综上所述,∑∞=--111)1(n p n n在10≤<p 时为条件收敛,而在1>p 时为绝对收敛. 绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如∑∞=+-111)1(n n n=2ln , 而2ln 214124112181613141211=+----++--+-- k k k注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛111n n n n n n u τν 其中123121νννντn n n n n u u u u ++++=-- .如果两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nν都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数∑∞=1n nτ也绝对收敛.且当A un n=∑∞=1,B n n =∑∞=1ν时, AB n n =∑∞=1τ.若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.§7.3 幂级数一、内容要点函数项级数的概念：函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数． 幂级数及其收敛性： 1．幂级数的概念； 2．幂级数的收敛性：(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数∑∞=0n n x n a 当x = x 0(x 0≠ 0)时收敛，则适合不等式| x | < | x 0 |的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞=0n n x n a 当x = x 0时发散，则适合不等式| x | > | x 0 |的一切x 使这幂级数发散．(证明)推论：如果幂级数∑∞=0n n x n a 不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得 当| x | < R 时，幂级数绝对收敛; 当| x | > R 时，幂级数发散；当x = R 或x = -R 时，幂级数可能收敛也可能发散． (2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念； (3) 幂级数的收敛半径的求法: 定理２：如果ρ=+∞→nn n a a 1lim，其中a n 、a n + 1 是幂级数∑∞=0n n x n a 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1ρρρρR(证明).3．幂级数的运算：幂级数的加法、减法、乘法、除法； 4．幂级数的和函数的性质： 性质1：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续．性质2：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式I x x n a x x a x x a x x s n n n xn xnn n nn x∈+===∑⎰∑⎰∑⎰∞=+∞=∞= ,1d d ][d )(01．逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径． 性质3：幂级数∑∞=0n n x n a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导，并有逐项求导公式),( )()(1100R x x na x a x a x s n n n n nn n n n <='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∑∑∑∞=-∞=∞=逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．二、 教学要求和注意点一、 函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I 上的一个函数,便为函数项级数.设 )(x u n , ,2,1=n 是定义在区间I 上的函数,序列)(1x u ,)(2x u , ),(x u n 是一个函数列,对于I 上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:)(1x u ++)(2x u ++)(x u n , (1)简记为∑∞=1)(n nx u.称为定义在I 上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如p -级数∑∞=11n pn ,∑∞=1n n nx ,∑∞=1!n nn α等等. 对于∈=0x x I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:∑∞=1)(n nx u =)(01x u ++)(02x u ++)(0x u n(2)若级数(2)收敛,就称0x x =是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称0x x =是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于I x ∈∀,x 不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I 中的每一点0x ,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I 上收敛.对于收敛域中的每一个点x ,函数项级数∑∞=n nx u)(为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点x 的函数.记为)(x S .则∑∞=n nx u)(=)(x S . )(x S 又称为和函数.若将其部分和函数记为)(x S n ,则)()(lim x S x S n n =∞→.同理,称)()(x S x S r n n -=为∑∞=1)(n nx u的余项.n r 为)(x S n 代替)(x S 时的误差.显然,也有0)(lim =∞→x r n n (x 为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式: +++++nn x a x a x a a 2210(3) ,其中 ,,,,,210n a a a a 叫做幂级数的系数.显然,幂级数在),(∞-∞上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在0=x 处总是收敛的.而对0≠∀x 的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel 定理) 设幂级数∑∞=0n nn xa = +++++nn x a x a x a a 2210 (3)若幂级数(3)在0x x =)0(0≠x 处收敛,则对于满足条件0x x <的一切x ,级数(3)绝对收敛.反之,若它在0x x =时发散,则对一切适合不等式0x x >的x ,级数(3)发散.证: +++++n n x a x a x a a 0202010收敛 ⇒nn n x a 0lim ∞→=0∴ 0>∃M , 对 ,2,1,0=∀n ,有M x a nn ≤0又 nnnnn n n nn nn x x M x x x a x x x a x a 00000≤⋅=⋅= 当0x x <时,10<x x , ∴ ∑∞=00n nx x M收敛. ⇒∑∞=0n nn x a 收敛. ∴∑∞=0n n n x a 绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设α为任一收敛点,β为任一发散点.则必有βα≤。