山东省2020年普通高校招生春季考试模拟试题（春季高考数学）
一、选择题（共20小题；共60分）
1. 若集合，，则
A. B. C. D.
2. 如果，那么下列不等式成立的是
A. B. C. D.
3. 函数的图象如图所示，则实数的可能取值是
A. B. C. D.
4. 已知函数则
B. D.
5. 已知等比数列的公比为，且，则的值为
A. B. C. D.
6. 如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是
A. B. C. D.
7. 已知为第二象限角，，则
C. D.
8. 过点且垂直于直线的直线方程为
A. B. C. D.
9. 的展开式中，的系数为
A. B. C. D.
10. 已知点、，动点满足，则点的轨迹是
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
11. 某外商计划在个候选城市投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则
该外商不同的投资方案有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
12. 下列命题中，是假命题的是
A. 存在一个，使
B. 一条直线不能确定一个平面
C. 所有质数只有两个正因数
D. 奇函数具有反函数
13. 已知，则的值是
14. 函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是
B.
C.
15. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于，两点，
则弦的长等于
A. B. C. D.
16. 用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是
A. B.
C. D.
17. 已知变量满足，则的最小值是
A. B. C. D.
18. 设袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中恰有个红球的概率为
A. B. C. D.
19. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，焦点到相应的长轴顶点的距离为，则椭圆的标准方程
为
A. B. C.
20. 在中，、、分别是角、、的对边，，
，且，则的大小为
B. C. D.
二、填空题（共5小题；共20分）
21. ．（化成弧度）
22. 若平面向量，，且，则的值是．
23. 某班级共有学生人，现将所有学生按，，，，随机编号，若用系统抽样的方法
抽取一个容量为的样本．已知号，号，号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是．
24. 从一个底面半径和高都是的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆
锥，得到一个如图所示的几何体，那么这个几何体的体积是．
25. 平面直角坐标系中，双曲线：的渐近线与抛物线：
交于点，，．若的垂心为的焦点，则的离心率为．
三、解答题（共5小题；共40分）
26. 二次函数的顶点是，图象交轴于，两点，且三角形的面积为，
求的解析式．
27. 函数的部分图象如图所示．
（1）. 写出的最小正周期及图中的值；
（2）. 求在区间上的最大值和最小值．
28. 我国古代数学中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．如图，在阳
马中，，是的中点，连接，，．
（1）. 求证：为直角三角形；
（2）. 若，求多面体的体积．
29. 已知函数在区间上有极大值
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的极小值．
30. 设，分别为椭圆的左右焦点．
（1）若椭圆上的点到，两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点
坐标；
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
答案
第一部分
1. C 【解析】因为，，所以．
2. B
3. A
4. A
5. A
6. B
7. A 【解析】因为，为第二象限角，所以，所以
，故选A．
8. A 【解析】由题意可设所求直线方程为：，将代入上式得
，即，所以所求直线方程为．
9. C 【解析】展开式的通项公式为，
令，得，
所以的系数为．
10. D
【解析】由题意知，，整理得，
∴点的轨迹为抛物线．
11. D 【解析】①只有两个城市有投资项目的有种，
②只有一个城市无投资项目的有种．
共有种．
12. A
13. B
14. C 【解析】函数在上为减函数，且，
可得：，
解得．
15. B
【解析】圆的圆心到直线的距离，弦
的长．
16. B 【解析】由题图知，俯视图的底面圆是看不见的，
所以在俯视图中该部分的映射图象是虚线圆，结合选项可知选B．
17. C 【解析】画出可行域，如图所示，
分析知，当经过点时，取得最小值．
18. D
19. A 【解析】 .
20. C
【解析】因为，，，所以，根据正
弦定理有，化简得，又因为，所以．
第二部分
22.
23.
24.
【解析】双曲线的两条渐近线方程为，
与抛物线方程联立得交点，，
抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，
即，
又，，
所以有，
即，
故的离心率．
第三部分
26. 由三角形的面积为，高为点的纵坐标，得，结合对称轴方程为可知，方程的两根为和．
所以可设，点在抛物线上，
所以，．
所以．
27• (1)
的最小正周期为，．
(2) 因为，所以
于是，当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
28• (1) 因为四边形为矩形，
所以．
又因为，
所以．
所以，
所以．
所以为直角三角形．
(2) 过点作于．
因为，
所以．
因为，且，所以．
即为三棱锥的高，
且．
因为为中点，
所以．
又因为，
所以．
于是
29. （1）．
令，得或．
故的增区间为和，减区间为．当时，取得极大值，
故，
所以．
（2）由（1）得．
当时，有极小值，为．
30. （1）椭圆的焦点在轴上，
由椭圆上的点到，两点的距离之和是，
得，即．
又点在椭圆上，
因此，
解得，于是．
所以椭圆的方程为，焦点，．
（2）设椭圆上的动点为，
线段的中点满足，，
即，．
因此为所求的轨迹方程．。