例1:分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2;4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
解:(1)方程组
2x-y-7=0,
3x+2y-7=0.的解为 x=3,
2
22
即x 2y 2 0
答案:B
12.(上海高考)直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是 ___________________.
x+2y-2=0
解析 : 如图所示,Q y 1 x的斜率为 1 ,
2
2
所求直线l的斜率k
1 2
.由y x
1 2
1,
x
得交点(1, 1),该点应在l上,故l的方程为y 1 1 (x 1),
解:∵点P在直线l上, ∴可设P(a,2-4a). 又A(4,-3)､B(2,-1), ∴由|PA|=|PB|可得 (a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,
解得a 7 . P(7 , 18). 5 55
易错探究
例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形. 错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形, ∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0,
4.已知△ABC的顶点A(2,3)､B(-1,0),C(2,0)则△ABC的周长 是( )
A.2 3 B.3 2 3 C.6 3 2 D.6 10 解析 : AB (1 2)2 (0 3)2 3 2. | BC | 3,| AC | (2 2)2 (0 3)2 3. VABC的周长为6 3 2.
| AB | (1 2)2 (2 0)2 5, | PQ | (0 1)2 (3 1)2 5, | MN ||1 4 | 5.
∵|AB|+|PQ|=
<5=|MN|,
∴线段AB,PQ,M2N不5 能围成一个三角形.
规律技巧:三条线段构成三角形的条件是:任两条线段之和大 于第三条线段,任两条线段之差小于第三条线段. 变式训练2:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰 三角形.
解:(1)当m=1且n≠7时,l1平行于x轴; (2)7x-y+15=0化为斜截式:y=7x+15, ∴k2=7,b=15,当l1∥l2时,应有k1=7且b1≠15即m-1=7且n+7≠15,∴m=8,n≠-8; (3)当(m-1)\57=-1,即 m 6 , n∈R时,l1⊥l2.
7
10.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),试 判断其形状.
∴k2=36,即k=±3 6.
3
答案:C
7.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东 14 km,南18 km处,那么甲､乙两船的距离是__6_0_k_m___.
解析:以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为 (50,30),乙船的位置为(14,-18),甲､乙两船的距离为
2.两点间距离公式的推导 两点间的距离公式的推导要依靠数轴上两点的距离的求法, 因而在推导任意两点间距离公式之前,应熟悉下面两种情况:
(1)直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|; (2)直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|. 在此基础上,运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=
解:解方程组
2x+3y+8=0,
x-y-1=0,得 x=-1,
y=-2.
∴两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2).
又直线l经过原点,
∴直线l的方程为 即2x-y=0.
y0 x0 , 2 0 1 0
题型二 两点间距离公式的应用
例2:已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(-1,1),M(1,0),N(-4,0),线 段AB,PQ,MN能围成一个三角形吗?为什么? 解:不能. 由两点间距离公式,有
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
3.用解析法证几何题的注意事项 (1)用解析法证明几何题时,首先要根据题设条件建立适当的 直角坐标系,然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标. (2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标. (3)另外,在证题过程中要不失一般性.
题型一 两直线的交点的求法及应用
(3,-1).
y=-1,因此直线l1和l2相交,交点坐标为
(2)方程组 2x-6y+4=0,
4x-12y+8=0.有无数组解,这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组 l1∥l2.
4x+2y+4=0, 2x+y-3=0.无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故
规律技巧:求两直线的交点,就是解由两条直线方程组成的方 程组,若方程组有一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线 平行;若方程组有无数组解,则两直线重合. 变式训练1:直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0和 x-y-1=0的交点,求直线l的方程.
解 :Q
k AB
35 4 2
1 3
,
kCD
30 63
1, 3
k AD
30 4 3
3,
由kAB kCD得AB / /CD,由kAB gkAD 1,
得AD AB.又 AB (5 3)2 (2 4)2 2 10,
| CD | (6 3)2 32 3 10,即 AB CD . 四边形ABCD为直角梯形.
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
1.了解两条直线的交点是由它们对应的方程组的解来确定的; 会根据方程组的解的个数来判断两直线的位置关系. 2.能利用两条直线交点的概念解决某些应用问题. 3.掌握平面上任意两点间的距离公式应用它处理相关的数学 问题.
6x+y-5=0, 得l2与l3的交点(1,-1).将交点(1,-1)代入l1的方程,得3×1-m1=0,∴m=2. ∴当m=2时,三线共点,不能围成三角形.
错因分析:错因是由于思维不严密造成的,一般容易想到三直 线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三 角形这个条件.
正解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不 能围成三角形. 由 3x-2y-5=0,
5
即所求点P为( 9 , 0)且 | PA | ( 9 3)2 (0 4)2 2 109 .
5
5
5
(2)题意得 MN (x 2)2 (4 3)2 7 2,平方得x2 4x 45 0,
解得x1 9或x2 5,故所求x值为9或 5.
变式训练3:已知A(4,-3)､B(2,-1)和直线l:4x+y-2=0,求点P使 |PA|=|PB|,且点P在直线l上.
答案:C
3.已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到M､N的距离相等,则x,y满足
的条件是( )
A.x+3y-8=0
B.x-3y+8=0
C.x-3y+9=0
D.3x-y-4=0
解析:由|PM|=|PN|,得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,化简得3xy-4=0.
答案:D
证明:由两点间距离公式可得:
| AB | (4 2)2 (3 1)2 2 2, | BC | (5 3)2 (0 4)2 2 5, | AC | (5 1)2 (0 2)2 2 5,
∴|AC|=|BC|, 又∵A､B､C三点不共线, ∴△ABC是等腰三角形.
题型三 综合问题
例3:(1)已知点A(-3,4),B(2, 3 ),在x轴上找一点P,使
时|距P1|离PP12公P|=2式_|=_.____||y__x2__2--_y_x_1_1|_|_______;.若显y然1=,上y2述,则两P种1P情2与形y轴都垂适直合,两此点时间的
1.关于两条直线相交的判定
(1)解两直线的方程组成的方程组,若只有一个公共解,则两 直线相交. (2)在两直线的斜率都存在的条件下,若斜率不等,则两直线 相交.
答案:C
5.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是( )
A.(5,2)
C.(- 1 ,3)
2
B.(2,3) D.(5,9)
解析:将含有待定系数的项放在一起,不含有待定系数的项 放在一起,可得
k(2x-y-1)-(x+3y-11)=0. ∴直线经过2x-y-1=0和x+3y-11=0的交点. 解得x=2,
6x+y-5=0,解得 x=1. y=-1.
将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2. ∴当m=2时三条直线共点.
又m=-2时,l1∥l2; 又m=时,l1∥l3. ∴当m=±2或m=时,l1,l2和l3不能围成三角形.
基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ强化
1.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点是( )
A.(-2,1)
y=3.
答案:B
6.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的 值是( ) A.-24 B.6 C.±6 D.不同于A､B､C的答案
解析:两直线的交点在y轴上,可设交点的坐标为(0,y0),
则有3y0-k=0,
①
-ky0+12=0.
②