三、解答题1.（2017四川自贡,22,8分）（本小题满分8分）两个城镇A、B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A、B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹.)C DEAB思路分析：点P到A,B的距离相等，则点P在线段AB的垂直平分线上；点A到CD和CE的距离，且在∠DCE 的内部，则点P在∠DCE的平分线上，故点P是线段AB的垂直平分线与∠DCE的平分线的交点.解：如图所示，点P即为所求.2.（2017江苏无锡，24，6分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上.AB CD思路分析：（1）三角形各边中垂线的交点即△ABC的外心O.（2）由（1）知点O到顶点A的距离是它到对边中点的一半，作OA的中垂线交AB于点D，以O为圆心，O D为半径作圆交AB，BC，CA于E，F，G，H，I，连接EF，GH，正六边形DEFGHI即为所求.解：（1）如图，点O为△ABC的外心.OABC（2）如图，正六边形DEFGHI ，即为所求.IH F E OD A BCG3. 21．（2017甘肃酒泉，21，6分）如图，已知ABC △，请用圆规和直尺作出ABC △的一条中位线EF (不写作法，保留作图痕迹).思路分析：分别是作出AB 、AC 两边的垂直平分线，即确定AB 、AC 两边的中点，连接两个中点，即可得到一条中位线。
解：如图，∴线段EF 即为所求作．4. 22. (2017甘肃兰州，22， 6分）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”第21题图ABC的尺规作图过程：参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（2）已知：直线l和外一点P求作：☉P，使它与直线l相切。
（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【答案】：（1）到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
（2）如图☉P为所求【解析】：（2）在尺规作图做垂直平分线的基础上，以P为圆心，PC为半径画圆，其中C点为垂足。
5.（2017江苏泰州，20，8分）如图，ABC△中，ACB ABC>∠∠.(1)用直尺和圆规在ACB∠的内部作射线CM，使ACM ABC=∠∠(不要求写作法，保留作图痕迹)；（第22题图）(2)若(1)中的射线CM交AB于点D，9AB=，6AC=，求AD的长.分析：（1）考查基本作图“作一个角等于已知角”；（2）易证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例即可求解.解：（1）作图如下；（2）解：∵ACM ABC=∠∠，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=，又9AB=，6AC=，∴669AD=，解得AD＝4.6. 18．(2017天津，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．CAB（Ⅰ）AB的长等于________；（Ⅱ）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________.答案：(Ⅰ)17；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)根据勾股定理可得AB=22+=；4117（Ⅱ）如图，AC与网络线相交，得点D、E，取格点F，连结FB并延长，与网格线相交，得点M、N，连结DN、EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求.7.（2017江苏南京，22，8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图，在OA，OB上分别取点C，D，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若OE＝OD，则∠AOB＝90°．思路分析∶方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图．解∶方法1∶如图①在OA，OB上分别截取OC＝4，OD＝3，若CD＝5，则∠AOB＝90°．方法2∶如图②，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆．若点O在圆上，则∠AOB＝90°．（2017甘肃庆阳，21，8分）如图，已知ABC△，请用圆规和直尺作出ABC△的一条中位线EF(不写作法，保留作图痕迹).思路分析：分别是作出AB、AC两边的垂直平分线，即确定AB、AC两边的中点，连接两个中点，即可得到一条中位线。
解：如图，∴线段EF即为所求作．9.（2017山东淄博，23，9分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．（1）求证：△BFN∽△BCP；（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写作法）；第21题图AB C②设AB ＝4，随着点P 在CD 上的运动，若①中的⊙O 恰好与BM ，BC 同时相切，求此时DP 的长．【答案】思路分析：（1）利用两角分别相等的三角形相似证明.（2）利用MP 是直径作图. （3）利用勾股定理列方程求解.解：（1）由折叠，得点B 、P 关于MN 对称．∴MN ⊥BP ．∴∠BFN ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°． ∴∠BFN ＝∠C ．又∵∠FBN ＝∠PBC ，∴△BFN ∽△BCP ．（2）①连接MP ，作MP 的垂直平分线交MP 于点O ，以点O 为圆心，OM 为半径作⊙O ，则⊙O 即为所求作的圆．图略. ②如图，∵BM 切⊙O 于点M ，∴OM ⊥BM ． ∴∠AMB +∠DMP =90°.∵∠ABM +∠AMB =90°, ∴∠ABM =∠DMP . 由折叠知MB =MP ，又∠A =∠D =90°. ∴△ABM ≌△DMP ． ∴MD ＝AB ＝4．过点M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，则MH ＝4． 设BC 与⊙O 相切于点G ，连接OG ． ∴OG 是梯形MHCP 的中位线． 设DP ＝x ，则CP ＝4－x ． ∴OG ＝12(4+4－x )＝4－12x ． ∴MP ＝8x -．C DFAB N PMOGH C D FA B NPM （图1）C D FA B NPM （图2）CDA B （图3）（第23题图）在△DPM 中，由勾股定理得2(8)x -＝224x +． 解得x ＝3，即DP ＝3．10. （2017陕西，17，5分）（本小题满分5分）如图，在钝角△ABC 中，过钝角顶点B 作BD ⊥BC 交AC 于点D ．请用尺规作图在BC 边上求作一点P ，使得点P 到AC 的距离等于BP 的长．（保留作图痕迹，不写作法）D B CA思路分析：要满足条件：在BC 边上求作一点P ，使得点P 到AC 的距离等于BP 的长，则DP 为∠BDC 的角平分线．解：如图所示，点P 即为所求．11. 9．（2017江苏省南通市，9，3分） 已知∠AOB ，作图： 步骤1：在OB 上任取一点M ，以点M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交OA ，OB 于点P ，Q ． 步骤2：过点M 作PQ 的垂线交»PQ于点C ．步骤3：画射线OC ．则下列判断：①»»PCCQ =；②MC ∥OA ；③OP ＝PQ ；④OC 平分∠AOB ．其中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C DFAN PMOG答案第17题图PD B CA答案：C 解析：步骤1提供的信息是OQ为⊙M的直径，点P是⊙M上的一点；步骤2提供的信息是MC ⊥PQ，交»PQ于点C；步骤3提供的信息是画射线OC．∵OQ为⊙M的直径，∴∠OPQ＝90°，∵MC⊥PQ，∴“①»»PC CQ”正确，“②MC∥OA”正确；∴∠POC＝∠OCM，∵MO＝MC，∴∠MOC＝∠MCO．∴“④OC平分∠AOB”正确；而“③OP＝PQ”不一定成立．【试题难度】★★★【关键词】作图，圆的基本性质12.（2017黑龙江绥化，22，5分）（本小题满分5分）如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点为A和景点B 之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B,景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A 的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P（不写作法和证明，只保留作图痕迹）思路分析：凉亭P要在AB上，且要保证PB+PC=AB，所以必须要求PA=PC，因此点P必须是在A、C两点连线段的中垂线与AB的交点，故作图时，连接AC，作AC的中垂线，与AB的交点，即是点P的位置.解：说明：连接AC，作AC的中垂线，与AB的相交，则交点就是所求作的点.作图如下。
．13. 20．（2017广东广州）（本小题满分10分）如图12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝23. （1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）O M Q BPCA（2）若△ADE的周长为a，先化简T＝（a＋1）2－a（a－1），再求T的值．思路分析：（1）按照线段垂直平分线的尺规作图方法作图；（2）通过解直角三角形求出△ADE的周长为a，再化简、代入求值.解：（1）如图所示：（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴∠AED＝90°，AE＝12AC＝12×23＝3.在RtADE中，∠A＝30°，AE＝3，∴DE＝AE·tanA＝3×33＝1，AD＝2DE＝2.∴a＝AD+DE+AE＝2+1+3＝3＋3.T=（a＋1）2－a（a－1）＝a2＋2a＋1－a2＋a＝3a＋1＝3（3+3）+1＝33+10.14. 18．（2017内蒙古赤峰，18，6分）已知平行四边形ABCD．DBAC（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE＝CF．思路分析：（1）作AF平分∠BAD；（2）欲证CE＝CF，需证∠3＝∠4，由平行四边形对边平行可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，又∠1＝∠2，结论可得.解：（1）如图，射线AF即为所求；4321F E D B AC（2）∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵AF 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．∴CE ＝CF ．15. 20. （2017广西贵港，20，5分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知线段a 和∠AOB ，点M 在OB 上（如图所示）．（1）在OA 边上作点P ，使OP=2a ；（2）作∠AOB 的平分线；（3）过点M 作OB 的垂线．思路分析：（1）在OA 上截取OP=2a ；（2）根据角平分线的作法作∠AOB 的平分线；（3）作平角∠OMB 的角平分线.解：（1）点P 为所作；（2）OC 为所作；（3）MD 为所作.。