求极限的方法具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又若0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(limlim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：求2422lim ---→x x x解：原式=()()()02222lim lim22=+=-+---→→x x x x x x⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sin lim=→xxx 来求极限 1sin lim 0=→x xx 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞→x g x g x例2：xxx -→ππsin lim解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim==-→→t tx x t x ππ例3：求()11sin 21lim --→x x x解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 122121lim lim =--⋅+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)11(lim 来求极限e x x =+∞→)11(lim 的另一种形式为e =+→ααα1)1(lim .事实上，令.1x =α∞→x .0→⇔α所以=+=∞→x x x e )11(lim e =+→ααα10)1(lim例4: 求xx x 1)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lim e x x xx x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法。

⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即.1)()(lim=→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.定理2②：设函数)(),(),(x h x g x f 在)(00x u 内有定义， 且有)(x f )(~x g .)(0x x →① 若,)()(lim 0A x g x f x x =→则A x h x g x x =→)()(lim 0② 若,)()(lim 0B x f x h x x =→则B x g x h x x =→)()(lim 0 证明：①A A x h x f x f x g x h x g x x x x x x =⋅=⋅=→→→1)()()()()()(lim limlim 0②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例5：求3sin sin tan limx xx x -→的极限解：由 ).cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-而)0(,~sin →x x x ； ,2~cos 12x x -（x 0→）；33sin x x -3~x ,（x 0→）.故有30sin sin tan lim x x x x -→= lim 0→x 212cos 132=⋅⋅x x x x 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于1sin lim 0=→x xx ，故有x sin ).0(,~→x x 又由于,1arctan lim 0=→x xx 故有arctanx x ~，(x 0→). 另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

如上式中，若因有tanx x ~，);0(→x x sin x ~).0(,→x 而推出30sin sin tan lim x x x x -→=0sin 30lim =-→xxx x 则得到的结果是错误的。

⒋ 利迫敛性来求极限定理3③：设lim 0x x →f(x)= lim 0x x →g(x)=A,且在某),('0δx u o 内有f(x)≤h(x)≤g(x),则lim 0x x →h(x)=A例6：求lim 0-→x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 1的极限解： 1≤x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 1<1-x. 且1)1(lim 0=--→x x 由迫敛性知∴lim 0-→x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 1=1做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

⒌利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数)(x f 在0x 点连续，则)()(0lim 0x f x f x x =→及若a x x x =→)(lim 0ϕ且f(u)在点a 连续，则[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→)()(lim lim 00x f x f x x x x ϕϕ 例7：求2arcsin 2cos 10lim x xx e -→的极限解：由于lim→x 41arcsin 2cos 12=-x x 及函数()4e uf =在41=u 处连续，故lim 0→x 2arcsin 2cos 1xxe-=20arcsin 2cos 1lim xxx e-→=41e 。

⒍利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。

我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作00型或∞∞型的不定式极限。

现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。

下面就给出不定式极限的求法。

(1)对于型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim 0x x →)(x f =lim 0x x →)(x g =0。

②在点0x 的某空心邻域)(00x u 内两者都可导，且0)('≠x g ③limx x →)(')('x g x f =A 。

（A 可为实数，也可为∞±或∞） 则limx x →)()(x g x f =lim 0x x →)(')('x g x f =A 。

注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。

例8：求limπ→x xx2tan cos 1+ 解：容易检验f(x)=1+x cos 与g(x)=x 2tan 在π=0x 的邻域里满足定理的条件①和②，又因lim π→x )(')('x g x f =lim π→x x x x2sec tan 2sin -= -lim π→x 212cos 3=x 故由洛比达法则求得，limx x →)()(x g x f =lim 0x x →)(')('x g x f =21在此类题目中，如果limx x →)(')('x g x f 仍是0型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限limx x →)(')('x g x f 是否存在。

当然，这是)('x f 和)('x g 在0x 的某邻域内必须满足上述定理的条件。

例9：求)1ln()21(221lim x x e xx ++-→ 解：利用)1ln(2x +2~x （0→x ），则得 原式=lim→x 221)21(x x e x+-=lim 0→x x x e x2)21(21-+-=lim→x 1222)21(23==+--x e x在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例， 例10：求lim+→x xex -1解：这是00型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。

如作适当的变换，计算上就会更方便些，故 令,x t =当+→0x 时有+→0t ，于是有lim 0+→x xex-1=111lim lim00-=-=-++→→tt t t ee t (2)∞∞型不定式极限 若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。

定理5⑤：若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim 0+→x x )(x f =lim 0+→x x )(x g =∞②在点0x 的某空心邻域)(00x u +内两者都可导，且0)('≠x g ③lim0+→x x )(')('x g x f =A ，（A 可为实数，也可为∞±或∞）。

则lim0+→x x )()(x g x f =lim 0+→x x )(')('x g x f =A 。

此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。

例11：求xx x ln lim+∞→ 解：由定理4得，''ln (ln )l0()lim lim lim x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞=== 注1：若limx x →)(')('x g x f 不存在，并不能说明lim 0x x →)()(x g x f 不存在。

注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。

首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。

下面这个简单的极限lim∞→x xxx sin +=1 虽然是∞∞型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则： lim∞→x x x x sin +=lim ∞→x 1cos 1x+就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。

(3)其它类型不定式极限不定式极限还有∞⋅0，∞1，00，0∞，∞-∞等类型。