F2
F1
沿长、短轴方向设 定新坐标系，长轴
变量承载大部分变
异信息，短轴变量
承载少量变异信
息．
一就个 可长以轴代新表变原量来两F１ 个变量的主要信息， 从而起到降维作用
在主成分分析中， 提取出的每个新变
F1与F2不相关 量(主成分)都是原 来多个变量的线性 组合
➢如由两个原始变量X1和X2，可提取两个主成分:
➢方差贡献率：数值越大，表明该因子对原来变 量信息的综合能力越强。
➢累计贡献率
➢变量Xi的变量共同度：也称公因子方差比，是 提取公因子后，各变量中信息被提取出的比例， 或者说原变量的信息量(方差)由公因子决定的比 例
➢旋转前/后因子载荷：反映因子和各个变量间的 密切程度的指标，实质是两者间的相关系数
F1 =a11X1 +a21X2
F2 =a12X 1 +a22X2 依次类推：由N个原始变量可提取N个主成分， 但如果将它们全部提取出来就失去了该方法简 化数据的实际意义．
➢一般情况下按贡献率由大到小，取累计贡献率 达到85％的前2～3个主成分，其他的忽略不计。
➢在进行主成分回归时，提取出的主成分能包含 主要信息即可，不一定要有准确的实际含义。
➢在SPSS中的实现：
分析(Analyze)---数据降维(Data Reduction)---因子 分析(Factor Analyze) 在因子分析对话框中，将原变量选入“变量”列表
框中 在“描述”按钮对话框，在“相关矩阵”部分选择
“系数”和“KMO和Bartlett球形度检验”
在“抽取”按钮对话框，“方法”设定 为“主成分”
第八讲 主成分分析和因子分析
一、概述
意义和作用： ➢ 解决变量间多重共线性。在社会经济研究
工作中经常会遇到多指标的问题，这些指 标间往往存在一定的相关，直接纳入分析 不仅复杂，变量间难以取舍，而且由于分 析前提不满足，得出错误结论。
➢ 变量压缩。主成分分析通过线性变换，在尽可 能保留原始变量的信息的基础，降低维度，将 原来的多个变量组合成相互独立的少数的、新 的综合变量。
行检验，若变量间相互独立（Sig.大于 0.05)，因子分析无效
3、步骤
➢判断数据是否符合要求，是否有必要进行主
成分/因子分析
➢对原有变量标准化，以消除计量单位和数据
基数的影响(SPSS会自动对原始变量标准化）
➢根据标准化数据计算相关矩阵或协方差矩阵，
及其特征根和特征向量
➢进行分析，按一定标准确定提取的主成分/因
子数
➢如果进行的是主成分分析，步骤到此结束 ➢如果进行的是因子分析，则考察因子的可解
释性，并在必要时进行因子旋转，使因子载 荷向0、1分化，以寻求最佳解释
➢如有必要，计算因子得分等中间指标供进一
步分析使用
4、输出统计量
➢特征根(Eigenvalue ）：是因子影响力度的指标， 其数值代表因子相当于原始变量平均解释力的 多少。特征根大于1，表示引入的因子解释力度 大于一个原始变量平均解释力度。因此往往将 特征根大于１作为抽取因子的标准。
➢ 变量解释。利用新变量进一步探讨变量内在联 系和结构，利于简化和解释问题。
因子分析和主成分分析方法，往往是更复杂的 统计分析方法的基础。
Factor1.sav 、 Factor2.sav
二、主成分分析
1、基本原理
统计信息实际上是 指数据变异信息
右图中，在椭圆的 长轴方向数据变异 明显大于短轴方向
维技术。
➢在主成分分析时，要求提取出的主成分能包含
主要信息即可，不一定要有准确的实际含义。 但在因子分析中，目的是分解原始变量，从中 归纳出潜在的“类别”，相关性较强的指标归 为一类，每一类变量代表了一个“共同因子”， 即一种内在结构。因子分析就是要寻找该结构。
➢在实际应用中，有时两者不加区分
2、适用条件
➢因子得分函数系数
5、公因子数的确定
公因子数量的确定
➢主成分的累积贡献率：85%以上 ➢ 特征根：大于1 ➢ 综合判断。 因子分析时更重要的是因子的
可解释性，必要时保留特征根小于1的因子
➢利用碎石图帮助确定因子数量
6、在SPSS中的实现
例：在Factor2.sav中，有重庆市40个区县的GDP、工业总 产值等九个指标数据，试根据这些指标对各区县经济发 展状况进行综合评价。
回归估计方法求出因子得分数学模型（在因 子分析中，不能直接由载荷矩阵按列得到因 子的表达式）
上机习题
某市15个大中型企业经济效益数据见 “某市工业企业效益指标.sav”，利用因 子分析方法对企业经济效益进行综合评 价及分析。
为了找出变量间内在结构，要求因子分析满足 以下条件：
➢样本量 样本量与变量数的比例应在5: 1以上 总样本量最好大于100，而且原则上越大越
好
➢各变量间必须有相关性 KMO统计量:在（0，1）之间，大于0.9最佳，
0.9-0.7尚可， 0.7-0.6很差，0.5以下放弃
Bartlett’s球形检验：对变量间的独立性进
在“旋转”按钮对话框，“方法”设定 为“最大方差法”
在“得分”按钮对话框，选择“保存为 变量”、“方法”设定为“回归”，选 择“显示因子得分系数矩阵”
输出结果阅读
➢说明的总方差表：包括特征根，旋转前/后的
方差贡献率、累计贡献率
➢变量共同度 ➢旋转前/后因子载荷矩阵 ➢因子得分模型系数：求出公因子后，可以用
2、应用
➢利用主成分进行综合评价：当进行多指标的 综合评价时，应用主成分方法将多指标中的 信息集中为若干个主成分，然后加权求和， 得到综合评价指数。
➢利用主成分进行回归分析：通过对存在共线 性的自变量进行主成分分析，从而在提取多 数信息的同时解决共线性问题。
三、因子分析
1、概述 ➢与主成分分析相同，也是一种多变量化简、降