§2.2.1 对数与对数运算（一）
学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化； ⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用． 教学重点：对数的意义．
教学难点：对数概念的理解．
教学方法：讲授式．
教具准备：《几何画板》演示课本63P 例8．
教学过程：
（I ）新课引入：
师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数13 1.01x y =⨯．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头x 的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？
（学生思考，教师引导、演示）
要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿． 解决这个问题，实际上就是要要从181.0113x =，201.0113x =，301.0113
x =，…中分别求出x 的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．
这就是本节课开始学习的对数问题．
（II ）讲授新课：
⒈对数的意义：
师：一般地，如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．
请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来． 生： 1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13
x =． 师：由于我们实际应用的十进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记作lg N ．
另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数 2.71828e =为底数的对
数，以e 为底的对数成为自然对数，并且把log e N 记作ln N ．
请同学们用计算器计算下面几个对数的值：lg 2，lg 3，ln 2，ln 3． 生：（计算得）lg 20.3010=，lg30.4771=，ln 20.6931=，ln3 1.0986=． 师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：
log x a a N x N =⇔=．
请同学们填写下表中空白处的名称：
生：略．
2. 对数的性质：
师：在对数log a N 中，我们规定0a >且1a ≠，这是为什么呢？
生：在指数式中，为了使x a 对任意实数x 都有意义，我们规定了0a >；而当1a =时，式子1x 的值恒为1，但是在对数式中1log N 的值就是不确定的了，所以，在对数式log a N 中，我们和指数式x a 一样规定了0a >且1a ≠．
师：在学习指数函数的性质时我们知道，0x a >，这反映在对数中是怎样的性质呢？
生：由于0x a N =>，所以在对数中必须有0N >．
师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数．
在指数式中我们知道：01a =，1a a =，这反映到对数式中是怎样的呢？ 生：log 10a =，log 1a a =．
师：这就是对数的另一条性质．
根据指数与对数间的关系，我们还可以得到
log a N a N =，
这个公式我们一般称为对数恒等式．
例⒈例⒉见课本69P ．
（Ⅲ）课后练习：课本70P 练习．
（Ⅳ）课时小结
⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；
⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本75P 的阅读与思考．
（Ⅴ）课后作业
⒈课本82P 习题2.2 A 组 ⒈⒉
⒉阅读课本70P ～74P ，思考下列问题：
⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？
⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？
教学后记:
§2.2.1 对数与对数运算（二）
学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算； ⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数． 教学重点：对数的运算性质．
教学难点：用定义证明对数换底公式．
教学方法：讲授式．
教具准备：投影．
教学过程：
（I ）复习引入：
师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？
生：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．
师：对数有哪些基本性质呢？
生：对数有下面的基本性质：
⑴负数和零没有对数；
⑵log 10a =，log 1a a =；
⑶log a N a N =．
师：对数与指数之间有怎样的关系？
生：log x a a N x N =⇔=．
师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．
（II ）讲授新课：
⒈对数的运算性质：
师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：
设log a M m =，log a N n =，则有
m a M =，n a N =，
∴ m n a MN +=．
将上式化为对数形式，得 log ()a MN m n =+．
这样我们就得到了对数的一个运算性质：
log ()log log a a a MN M N =+． 请同学们仿照上述过程，由m n M a N -=
和mn n a M =得出对数运算的另外两条性质．
生：（推导得出） log log log a a a M M N N
=-， log log n a a M n M =．
师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．
例题：课本71P 例3、例4.
⒉对数换底公式：
师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，以方便我们的计算呢？
为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：
log log log c a c b b a
=． 你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？
（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书） 证明：设log a b p =，log c b m =，log c a n =，那么
p a b =，m c b =，n c a =．
将后面的两个式子代入前面的式子，得
np m c c =．
根据指数函数的单调性，得 np m =，
即 log log log c a c a b b ⋅=．
∴ log log log c a c b b a
=． 师：对数换底公式的证明方法较多，例如log log log log log a b a c c c b a a b ⋅==也可以证明．
对数换底公式还有如下常用的推论：
⑴1log log a b b a =；⑵1log log n a a b b n
=；⑶log log log a b a b c c ⋅=． 请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：
1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13
x =． （Ⅲ）课后练习：课本75P 练习．
（Ⅳ）课时小结
⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；
⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数． （Ⅴ）课后作业
⒈课本82P 习题2.2 A 组 ⒊⒋
⒉阅读课本77P ～78P ，思考下列问题：
⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？
⑵对数函数的图象是怎样的？函数2log y x =和12
log y x =的图象有什么关
系？
⑶对数函数有哪些性质？
教学后记:。