dk dt
和F的分量相等；
当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v
的方向上，
dk dt
和外力F的分量也相等。
F dk dt
这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具 有与经典力学中牛顿定律相似的形式。
一、电子的准动量
由经典功能关系 F dp / dt 得：
k —— 电子的准动量
❖ Bloch电子
❖ 有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近 （E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近 （ E(k)极大）， 有效质量总是负的。
有效质量的物理解释
1
m m0x 0
0 mx 0
0
0
mx
2
2a 2 J1
0
❖
在能带顶R点：
k
a
,
,
a
a
2
mx my mz m 2a2J1 0
2
2
mx 2E kx2
2a2J1
cos kxa
1
2
my 2E
k2y
2
2a2J1
cos k y a
1
2
2
mz
2E kz2
2a 2 J1
在能带中 的某处，
d 2E dk 2
0
电子速度的数值最大
与自由电子的速度总是随 能量的增加而单调上升是 完全不同的。
❖ 电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等 能面的法线方向。
电子的运动方向决定于等能面的形状: 在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因
此，v的方向一般并不是k的方向；
0
m*>0； m*<0
2. 三维情况
a
dv dt
d dt
1
k
E
1
dk dt
E kk
分量形式：
a
dv dt
d 1
dt
E k
1
3 dk 1 dt
k
E
k
1
2
3
F
1
2E k k
＝1, 2, 3，或
x，y，z
原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系，
电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。
cos kza
1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，
退化为一标量，这是立方对称的结果。
❖ 在X点：
k
a
,
0,
0
2
mx 2a2J1 0,
2
my mz 2a2J1 0
有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准 经典运动的加速度与外力联系起来。
❖ 有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下， 有效质量是一个张量，在特殊情况下可以退化为标量。
2E
kk
2a2J1 cos ka 0
即kx , ky, kz为张量的主轴方向
, 1, 2, 3
2
2
mx
2E kx2
2a 2 J1
cos kxa
1
2
2
my
2E
k
2 y
2a 2 J1
cos kya
1
2
2
mz 2E kz2
2a2J1
cos kza
1
有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越
当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，v才与k的
方向相同。
ky v k
kx
3.2 电子在外电场作用下的加速度，有效 质量，等能面
在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场
对电子所做的功为F vdt
功能原理： F vdt dE E d k k
v 1 E k
F
dk dt
v
0
在平行于v的方向上，
kx2
0
0
1
mx
0
0
1 m
1
2
0
2E
k
2 y
0 0
1 my
0
0
0
2
E
0
kz2
0
1 mz
dvx dt
1 mx
Fx ,
dvy dt
1 my
Fy ,
dvz dt
1 mz
Fz
例：求简单立方晶体中，紧束缚近似下s带电子的有效质量， 并讨论其特点。
E k s J0 2J1 cos kxa cos kya coskza
a
dv dt
d dt
1
dE dk
பைடு நூலகம்
1
dk dt
d 2E dk 2
2
F
d2E
dk 2
引入电子的有效质量：
F m* dv dt
2
m* d 2E
dk 2
在周期场中电子的有效质量m*与k有关
❖ 在能带底： E(k)取极小值，
❖ 在能带顶： E(k)取极大值，
d 2E dk 2
0
d 2E dk 2
k
r
eikru k
r
的行为类似于波长
为 2 k 的平面波，再由de Broglie关系得其
具有 k 的动量。
❖ 晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 k 。
二、电子的加速度和有效质量
晶体中电子准经典运动的基本关系式：
v 1 E
{
k
dk
F
dt
由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。
1. 一维情况
计算结果：
电子的速度：
vk0
dx dt
1
dE dk
k0
三维情况： 电子速度为 v 1 E k
理解：电子的平均速度与其能量和状态有关。
由于E(k)=E(-k), 所以
v(k) v(k)
❖ 电子运动速度的大小与k的关系
以一维为例：
在能带底和能带顶，E(k)取极值， dE 0
dk
在能带底和能带顶，电子速度v＝0
2E
kx2
1 m
1
2E
2 kykx
2E
kzkx
2E
k xk y
2E
k
2 y
2E
k z k y
2E
kxkz
2E
kykz
2E
k
2 z
电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致。
倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为 张量的主轴方向，可将其对角化。
在主轴坐标系中：
2E
大，J1越小，则有效质量就越大。
❖ 在能带底点： k 0, 0, 0
2
mx my mz m 2a2J1 0
有效质量张量退化为一个标量
2
2
mx 2E kx2
2a2J1
cos kxa
1
2
my 2E
k2y
2
2a2J1
cos k y a
1
2
2
mz
2E kz2
2a 2 J1
cos kza
第三章 外场作用下晶体电子的 运动
固体材料
器件
器件工作需要外加电磁场驱动其中的电子
3.1 晶体中电子的速度
处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：
❖ 解含外场的波动方程
2
2m
2
U
r
V
r
E
❖ 在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理。
条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。
矩阵形式：
2E
ax
ay
az
kx2
1
2E
2 ky kx 2E
kz
kx
2E
k x k y
2E
k
2 y
2E
kz ky
牛顿定律： a 1 F m
2E
k x k z 2E
ky kz 2E
Fx Fy Fz
k
2 z
这里用二阶张量
1 m*
代替了
1 m
倒有效质量张量：