4 4
n
1
n +1 n
n
a a +2 n
2S - 1 n S ⎭ ⎧
⎬
1．已知数列{a }是首项为a = 1 ，公比 q = 1
的等比数列，b n 1 n + 2 = 3log
1 4
a
n
(n ∈ N *) ，数列 {c }满足 c = a ⋅ b ．
n n
n
n
（1）求证：{b n
}是等差数列；
{a }
a = 2, a
= a 2 + 6a + 6(n ∈ N * )
2．数列
满足
，
设 c n = log 5 (a n + 3)
．
（Ⅰ）求证： {c n }
是等比数列；
3．设数列 { n
}的前 n 项和为 S
n
，已知 a + 2a + 3a +
1 2 3
+ na = (n - 1)S + 2n (n ∈ N * ) ．
n n
（2）求证：数列{S + 2}是等比数列；
n
4．数列{a } 满足 a = 1, a n 1 n +1
= 2 n +1 a
n
n (n ∈ N ) +
2 n
（1）证明:数列{ } 是等差数列；
a
n
5．数列 {a }首项 a n 1 2S 2
= 1 ，前 n 项和 S 与 a 之间满足 a = ( n ≥ 2)
n n n n
（1）求证：数列 ⎨ 1 ⎫ 是等差数列
⎩ n
6．数列{ a }满足 a = 3 ， a n 1
n +1 = 2
a + 1
n
，
（1）求证：{ a n - 1
} 成等比数列；
a + 2
n
7．已知数列{a } 满足 a
n
n +1
= 3a + 4 ， (n ∈ N * ) 且 a = 1 ，
n 1
（Ⅰ）求证：数列{a + 2}是等比数列；
n
n +1
= ，n=1，2，…
⎧ S ⎬
是等差数列，并求 S ； n ⎭
⎧
a 3 （Ⅰ）证明：数列 ⎨ n ⎬ 为等差数列；
=
a
a
（1）求证: ⎨⎧ 1 + ⎬ 是等比数列,并求 {a }的通项公式 a ; ⎩ a n 2 ⎭
， a = ，且当 n ≥ 2 时，
2 4
8． 数列{a } 满足: a = 1, n ⋅ a
n
1
n +1
= (n + 1) ⋅ a + n ⋅ (n + 1), n ∈ N *
n
a
（1）证明：数列{ n } 是等差数列；
n
9．已知数列{a n }的首项 a 1= 2 3
， a
2a
n
a + 1 n
（1）证明：数列 ⎨ 1
⎫
- 1⎬ 是等比数列；
⎩ a n
⎭
10．已知数列{a } 的前 n 项和为 S ， a = n
n 1
1 2
, S = n 2a - n (n - 1),n = 1,2,L ． n n
（1）证明：数列 ⎨ n + 1
⎩ n
⎫
n
11．（16 分）已知数列{a } 的前 n 项和是 S ，且 S = 2a - n
n
n
n
n
（1）证明： { + 1}为等比数列；
n
12．数列{a } 满足： a = 2, a = 3, a
n
1
2
n +2
= 3a
n +1
- 2a (n
∈ N *) n
（1）记 d = a n n +1 - a n ，求证：数列{d n } 是等比数列；
13．已知数列{a } 的相邻两项 a ， a
n
n n +1 是关于 x 方程 x 2 - 2n x + b = 0 的两根，且 a = 1 ．
n 1
1
（1）求证：数列{a - ⋅ 2n } 是等比数列；
n
14．（本题满分 12 分）已知数列{a } 中， a = 5 且 a = 2a
n
1
n
⎧ a - 1 ⎫
⎩ 2n ⎭
n -1
+ 2n - 1 （ n ≥ 2 且 n ∈ N
* ）．
15．已知数列 {
n }中, a 1 = 1, a n a + 3 n
(n ∈ N * )
1 ⎫
n n
16．设数列{a }的前 n 项和为 S n
n
， n ∈N *．已知 a = 1 ， a =
1 2
3 5
3
4S
n +2
+ 5S
= 8S n
n +1
+ S n -1 ．
（1）求 a 的值；
4
（2）证明： ⎨a
- a ⎬ 为等比数列； S - 3n （1）求证：数列 ⎨ n ⎬ 是等比数列； n 1．（1）见解析；（2） S =
2
- ⨯ ( )n ；（3） m ≥ 1或 m ≤ -5 3 3 4
4 52n - 9
4．（1）详见解析；（2） a =
；（3） (2n - 3)2n +1 + 6
n + 1
5．（1）详见解析；（2）∴ a = ⎨ 2
；（3） 3 ． ⎪ (2n - 1)(2n - 3)
⎧ ⎩ n +1 1 ⎫
2 n
⎭
17．设数列 {a }的前 n 项和为 S n
n ，且首项 a ≠ 3, a 1
n +1
= S + 3n (n ∈ N * ) .
n
(Ⅰ)求证：{ }
是等比数列； n
18．（本小题满分 10 分）已知数列 {a
n
}满足 a
1 = -1 ， a n +1 =
(3n + 3)a + 4n + 6
n n
, n ∈ N * ．
⎧ a + 2 ⎫ ⎩ ⎭
参考答案
(3n + 2) 1 n
2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
a = 52n -1 n
- 3.
；（Ⅲ） 1 1
T =- - n
.
3．（1）
a = 4, a = 8
2 3
；（2）见解析；（3）5
2n
n
⎧1
(n = 1) ⎪ 2 n - ( n ≥ 2) 3
⎩
6．（1）证明{ a n - 1
} 成等比数列的过程详见试题解析；
a + 2
n
2 = 1 ，对 n ≥ 2 成立．又
S = 1，
n
n - 1
1
⎩ n n ⎭ n
n + 1 n 3 + 3n 2
(n + 1)(n + 3) 2 n + 1 n + 3
，
2 2 4
3 5 n n + 2 n + 1 n + 3 2 6 n + 2 n + 3 12
11．（1）见解析；（2）解析；（3）存在， ⎨ 或 ⎨ 或 ⎨ ． m = 18 m = 5 m = 2 -
n 为偶数
⎪⎪ 3 3
- 1 n 为奇数 ⎪ 2 n +1 (2n - 1)⨯ ⎛ 1 ⎫⎪ ．
7
8
⎝ 2 ⎭
⎩
1 - 3
3 - 1 ≤ t ≤
．
（2）实数 t 的取值范围为 2
2
7．详见解析
(2n - 1)⋅ 3n +1 + 3
8．（1）见解析；（2） S =
4
n
n n (n + 1)
9．（1）详见解析（2） S = 2 -
1
- +
2n
2
n
n -1
10 ．（ 1 ） 由 S = n 2 a - n (n - 1) 知 ， 当 n ≥ 2 时 ， S = n 2 (S - S
n
n
n
n
n -1
) - n (n - 1) ， 即
(n 2 - 1)S - n 2 S
n
n -1
= n (n - 1)
，所以
n + 1 n 1 + 1 S - S
n n -1 1
⎧ n + 1 ⎫
n + 1 所以 ⎨ S ⎬ 是首项为 1 ，公差为 1 的等差数列．所以 S = 1 + (n - 1)⋅ 1，即 n
n 2
S =
．
n
（
2 ）
因 为 b =
S n n
1 1 1 1
= = ( - )
所 以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 5
b + b + L + b = ( - + - + L + - + - ) = ( - - ) < 1 2 n
．
⎧k = 18 ⎧k = 6 ⎧k = 4
⎩
⎩
⎩
12．（1） d = 1⨯ 2n -1 （2） a = 2n -1 + 1
n n
⎧
2n +1 2
13．（1）见解析；（2） S = ⎨
，（3） (-∞,1)
n
⎪ 3
3
14．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） S = n ⋅ 2n +1
n 15．（1）证明详见解析；（2） -2 < λ < 3．
n -1
16．（1）
；（2）证明见解析；（3） a =
n
17．(Ⅰ)详见解析； (Ⅱ) (-9,3) ⋃ (3, +∞)。