习题一解答1、 填空 （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D 含因子453112a a a 的项为 答：144038625)1(54453123123-=⋅⋅⋅⋅-=-a a a a a 或018605)1(53453124124=⋅⋅⋅⋅=-a a a a a（5）设328814412211111)(x x x x f --=，0)(=x f 的根为解：根据课本第23页例8得到)2)(2)(1)(22)(12)(12()(+-------=x x x x f0)(=x f 的根为2,2,1-（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x =解：根据条件))()((3213x x x x x x q px x ---=++，比较系数得到0321=++x x x ，q x x x -=321；再根据条件q px x --=131，q px x --=232，q px x --=333；原行列式=-++333231x x x =3213x x x 033)(321=+-++-q q x x x p（7）设 )(3214214314324321iJ a D ∆==，则44342414432A A A A +++=解：44342414432A A A A +++相当于)(iJ a ∆中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.（8）设)(iJ a c dbaa cb d a d bcd c b a D ∆==，则44342414A A A A +++=解 将D 按第四列展开得到44342414cA aA aA dA +++=cdba a cb da dbcd c b a ，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以44342414A A A A +++=0.=a ，b b b b b b b b b b nn n n nn =ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，则1112121222121111211112121222212221212000000000m m m m mm m n m n n n nm n n nna a a a a a a a a D abc c c b b b c c c b b b c c c b b b ==L L L L L LLLLLLL L L L L L L L L L L L L L L LL； 1112121222122111211112121222212221212000000000(1)m m m m mmmn n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a D ab b b bc c c b b b c c c b b b c c c ==-L L L L L LLLLLLLL L L L L L L L L L L L L L LL证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：111212122212m mm m mm a a a a a a a a a a =L LL L L L L=121212000mm m a a a a a a '''L LL L LLL =12m a a a L行列式12D D ，的变换和行列式a 的变换完全相同，同样假设行列式1D 变成12121211121111212122221222121200000000000m m m m n m n nnnmn n nna a a a a a c c cb b bc c c b b b c c c b b b ''''''''''''LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL23a a L L L第1次按第1行展开(变成第1行)第2次按第1行展开(变成第1行)第m 次按第1行展开12ma a a L 111212122212n n n n nnb b b b b b abb b b =L L L L L L L1212122111211112121222212221212000000000000m m mn m n m n n nnnnnma a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''L LL L L LLL L L L LLL LL L L L L L L L L L L LL23m a a a L L L第1次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第2次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第m-1次按第1行展开(变成第1行、第n+1列)第m 次按第1行展开==ab mn)1(-或将2D 的第(1)n +列连续经过n 次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第(2)n +列连续经过n 次对换而成为第2列，如此下去，第()n m +列连续经过n 次对换而成为第m 列，2D 共经过mn 次列对换而变成1D ，所以2D =ab mn)1(-。

7、计算下列行列式：（1）xaaa a x a aa a x a a a axD n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=，（2）)(ij n a D ∆=其中⎩⎨⎧≠==j i j i i a ij 2（3）j i a j i D ij n -=-∆=即),(（4）112222112000000000000000000d c d c d c b a b a b a D n n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=（5）=n D ba ab b a b a ab b a abb a +++++10000000010001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ解（1）第2行、第3行…、第)1(-n 和第n 行全加到第1行后，第1行提出(1)x n a +-得nD =[(1)]x n a +-1111a x a a aax a a aaxL L L L L L L L L1a 第行乘以(-)加到其他每一行[(1)]x n a +-11110000000x a x a x a ---L L L L L L L L L=])1([)(1a n x a x n -+--.（2）n D n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ222232222222221=第2行乘以(-1)加到其他每一行2010022220001--n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=11(-1)A=)!22--n （ (3)n D =14321105432450123341012232101123210ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ----------------n n n n n n n n n n n n n n n n=111111111111111111111111111111123210-----------------ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n 第1列加到其他每一列22221002221000221000021000001123210ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ--n n =n A n 1)1(-=212)1)(1(-+--n n n（4）将n D 2按第一行展开n D 2=12222100000000000d d c d c b a b a a n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ+121)1(+-n b 000000000012222ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛc d c d c b a b a n n n n=∏=--+---==-=--ni i i i i n n n n c b d a D c b d a D c b D d a 1)1(21111)1(211211)1(211))()1(Λ（5）=n D ba ab b a b a ab b a ab a ++++10000000010001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ+ba ab b a b a ab b a ab b ++++10000000010000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，其中ba ab b a b a ab b a ab a ++++10000000010001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛL L L L L L L L L L第1列乘以(-b)加到第2列;第2列乘以(-b)加到第3列;第(n-1)列乘以(-b)加到第n 列aa a a a 10000000001000010000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=na 于是1-+=n nn bD aD =)(21--++n n n bD a b a =)(3221---+++n n n n bD a b ba a =n n n n n b a b a b ba a +++++=---1221ΛΛ习题二解答8题 设A =2000020010200102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求(k A k 为正整数）解记2010,0201E ⎡⎤⎡⎤Λ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则0A E Λ⎡⎤=⎢⎥Λ⎣⎦，2220002A E E ΛΛ⎡⎤Λ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ΛΛΛΛ⎣⎦⎣⎦⎣⎦10kkk k A k -⎡⎤Λ=⎢⎥ΛΛ⎣⎦112000020020200202k k k k k k k k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦20题 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ2100λλ，n n x a x a a x f +++=Λ10)(，n a n ,0≠为正整数，证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ)(00)()(21λλf f f证因为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=Λk kk2100λλ，n n a a E a f Λ++Λ+=ΛΛ10)(，所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λn n n a a a f 21211000001001)(λλλλΛ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++n n nn a a a a a a 2210111000λλλλΛΛ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(00)(21λλf f21题设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2141P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ2001，Λ=-AP P 1，求10A 。

解因为1-Λ=P P A ，10A =110-ΛP P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11421P ，所以10A =21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2141⎥⎦⎤⎢⎣⎡102001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1142=21⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--11122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1142=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----101011112221221223、填空选择题：（1）A 为n 阶方阵，*A 为其伴随阵，31=A ，则=--*15)41(1A A解因E E A A A 31*==,所以131*-=A A ,n n A A A A A )1(3)1(54*15)41(1111-=-=-=-----（7）设均为n 阶方阵，AB E +可逆，则BA E +可逆，且1)(-+BA E =11)(--+B A E A ；11)(--+A B E B ；A AB E B E C 1)()(-+-；A AB E B D )()(1-+解法一：题目只说均为n 阶方阵，没有说可逆，于是)(),(),(D B A 全错.解法二： 因AB E +可逆，设其逆矩阵为P ，则E P AB E =+)(，于是P E ABP -=.因为)(BA E +])([1A AB E B E -+-=)(BA E +)(BPA E -=BABPA BA BPA E -+-=E A P E B BA BPA E =--+-)(所以BA E +可逆，且1)(-+BA E =A AB E B E 1)(-+-24、设0=k A ，（k 为正整数），证明121)(--++++=-k A A A E A E Λ.证E A A A A A A A A E A A A E A E k k k k =------++++=++++----1321212))((ΛΛΛ所以121)(--++++=-k A A A E A E Λ.推论：设A 均为n 阶方阵，若0=k A ，则0≠-A E ，n A E R =-)( 26、设均为n 阶方阵，且2B B =，E B A +=，证明 A 可逆，并求其逆.证 由E B A +=得E A B -=，代入2B B =得到2)(E A E A -=-=E A A +-22，于是E A A 232-=-，E A E A =-]2/)3[(，所以A 可逆，2/)3(1A E A-=-27、若对任意的1⨯n 矩阵X ，均有AX=0，证明A 必为零矩阵.证A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，因为对任意的1⨯n 矩阵X，均有A X =0，于是分别取X =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001Λ、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡010Λ、…⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100Λ，代入A X=0得到，012111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a a a Λ，022212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a a a Λ，…021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n a a a Λ.所以 A 为零矩阵28、设A 为n 阶方阵，证明0=A 的充分必要条件是0'=A A . 证 若0=A ，则0'=A A ；反过来设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，若=A A '⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=0则021221211=+++n a a a Λ，022222212=+++n a a a Λ，…，022221=+++nn n n a a a Λ，于是0=A 习题三解答第97页2选择题（4）设21,,ααβϖϖϖ线性相关，32,,ααβϖϖϖ线性无关，则（ ）)(A 321,,αααϖϖϖ线性相关.)(B 321,,αααϖϖϖ线性无关.)(C 1αϖ能由32,,ααβϖϖϖ线性表示.)(D βϖ能21,ααϖϖ由线性表示.解因为21,,ααβϖϖϖ线性相关，所以21,,ααβϖϖϖ3,αϖ线性相关，又因为32,,ααβϖϖϖ线性无关；于是1αϖ能由32,,ααβϖϖϖ线性表示.答：)(C（5）设向量βϖ能由向量组m αααϖΛϖϖ,,,21线性表示但不能由向量组（Ι）：121,,,-m αααϖΛϖϖ线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则（ ）.)(A m αϖ不能由（Ι）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示， )(B m αϖ不能由（Ι）线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示， )(C m αϖ能由（Ι）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示 )(D m αϖ能由（Ι）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示.解 因为向量βϖ能由向量组m αααϖΛϖϖ,,,21线性表示，所以存在R m m ∈-λλλλ,,,,121Λ，使βϖ=11αλϖ+22αλϖ+m m m m αλαλϖϖΛ++--11；因为βϖ不能由向量组121,,,-m αααϖΛϖϖ线性表示，于是0≠m λ，m αϖ=11αλλϖm -22αλλϖm -+11---m m m αλλϖΛ+βλϖm 1，即m αϖ能由（Ⅱ）线性表示.假若m αϖ能由（Ι）线性表示，则存在R k k k m ∈-121,,,Λ，使m αϖ=11αϖk +22αϖk +11--+m m k αϖΛ 代入βϖ=11αλϖ+22αλϖ+m m m m αλαλϖϖΛ++--11得到βϖ能由（Ι）线性表示.矛盾，故选择)(B 7、设向量β能由向量组m αααϖΛϖϖ,,,21线性表示，且表示唯一，证明m αααϖΛϖϖ,,,21线性无关.证 设11αλϖ+22αλϖ+m m αλϖΛ+=0ϖ，即0ϖ=11αλϖ+22αλϖ+m m αλϖΛ+（1）因为向量β能由向量组n ααα,,,21Λ线性表示，即=11αϖk +22αϖk +m m k αϖΛ+（2） （1）+（2）得=)(11k +λ1αϖ+)(22k +λ2αϖ+)(m m k ++λΛm αϖ表示唯一得到 111k k +=λ，222k k +=λ，m m m k k +=λ,Λ，于是m λλλ,,,21Λ全为零，故n αααα,,,,321Λ线性无关.8、设向量组21,ααϖϖ3,αϖ线性相关，32,ααϖϖ4,αϖ线性无关，证明：（1）1αϖ能由32,ααϖϖ线性表示；（2）4αϖ不能由21,ααϖϖ3,αϖ线性表示证（1）因为32,ααϖϖ4,αϖ线性无关，所以32,ααϖϖ线性无关，而21,ααϖϖ3,αϖ线性相关，故1αϖ能由32,ααϖϖ线性表示，即存在R k k ∈32,使1αϖ=22αϖk +33αϖk ；（2）假若4αϖ能由21,ααϖϖ3,αϖ线性表示，则存在R ∈321,,λλλ，使4αϖ=11αλϖ+22αλϖ+33αλϖ；将1αϖ=22αϖk +33αϖk 代入4αϖ=11αλϖ+22αλϖ+33αλϖ得到4αϖ能由2αϖ3,αϖ线性表示，于是32,ααϖϖ4,αϖ线性相关，与条件32,ααϖϖ4,αϖ线性无关矛盾.故4αϖ不能由21,ααϖϖ3,αϖ线性表示.12、设n 维单位坐标向量组n εεεϖΛϖϖ,,,21能由n 维向量组n αααϖΛϖϖ,,,21线性表示，证明向量组n αααϖΛϖϖ,,,21线性无关.证因为n 维向量组n αααϖΛϖϖ,,,21能由单位坐标向量组n εεεϖΛϖϖ,,,21线性表示，根据条件向量组n εεεϖΛϖϖ,,,21与向量组n αααϖΛϖϖ,,,21等价.向量组n εεεϖΛϖϖ,,,21的秩为n .故向量组n αααϖΛϖϖ,,,21的秩为n，因此向量组n αααϖΛϖϖ,,,21线性无关.13、设n αααϖΛϖϖ,,,21是n 维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都能由它们线性表示.证 设n αααϖΛϖϖ,,,21线性无关，αϖ为任一n 维向量. 向量组n αααϖΛϖϖ,,,21，αϖ一定线性相关，于是αϖ能由n αααϖΛϖϖ,,,21线性表示；反过来 若任一n 维向量都能由n αααϖΛϖϖ,,,21线性表示，则n 维单位坐标向量组n εεεϖΛϖϖ,,,21能由n 维向量组n αααϖΛϖϖ,,,21线性表示，根据第12题向量组n αααϖΛϖϖ,,,21线性无关. 14、设向量组（Ι）：s αααϖΛϖϖ,,,21的秩为1r ，向量组（Ⅱ）：t βββϖΛϖρ,,,21的秩为2r ，向量组（Ⅲ）：s αααϖΛϖϖ,,,21，t βββϖΛϖρ,,,21的秩为3r ，证明21321},max{r r r r r +≤≤.证不妨设向量组（Ι）的最大线性无关组为1,,,21r αααϖΛϖϖ，向量组（Ⅱ）的最大线性无关组为.向量组（Ι）能由其最大线性无关组1,,,21r αααϖΛϖϖ线性表示，向量组（Ⅱ）能由其最大线性无关组线性表示，于是向量组（Ⅲ）能由向量组1,,,21r αααϖΛϖϖ，线性表示.故213r r r +≤1,,,21r αααϖΛϖϖ是sαααϖΛϖϖ,,,21，tβββϖΛϖρ,,,21中1r 个线性无关的向量，于是1r 3r ≤，同样可以证明2r 3r ≤，因此321},max{r r r ≤.故21321},max{r r r r r +≤≤.15、设A 是s m ⨯矩阵，B 是t m ⨯矩阵，证明：)()()|(B R A R B A R +≤.证 设A =],,,[21s αααϖΛϖϖ，B=],,,[21t βββϖΛϖρ，则)|(B A =s αααϖΛϖϖ,,,[21],,,,21t βββϖΛϖρ根据第14题得到)()()|(B R A R B A R +≤16、设A ，B 都是n m ⨯矩阵，证明)()()(B R A R B A R +≤+ 证设A=],,,[21n αααϖΛϖϖ，B=],,,[21n βββϖΛϖρ，则A+B=],,,[2211n n βαβαβαρϖΛρϖρϖ+++而且nn βαβαβαρϖΛρϖρϖ+++,,,2211能由n αααϖΛϖϖ,,,21n βββϖΛϖρ,,,,21线性表示.根据第14题，得到)()()(B R A R B A R +≤+17、设A 是s m ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，证明：)}(),(min{)(B R A R AB R ≤证 设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ms m m s s a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211，B =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡s βββϖΛϖϖ21，AB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m αααϖΛϖϖ21，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m αααϖΛϖϖ21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ms m m s s a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡s βββϖΛϖϖ21=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++s ms m m s s s s a a a a a a a a a βββββββββϖΛϖϖΛϖΛϖϖϖΛϖϖ221122221211212111 即m αααϖΛϖϖ,,,21能由s βββϖΛϖρ,,,21线性表示，因此)()(A R AB R ≤.同样可以证明)()(B R AB R ≤故)}(),(min{)(B R A R AB R ≤.习题四解答：6（4）求⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解解 =)|(B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----253414312311112~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----007/57/97/5107/67/17/101，42)()|(<==A R B A R ，方程组有无穷多个解，解空间的维数是2，同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-+-=++=4433432431797575717176x x x x xx x x x x ，原方程组的通解为12121234611777559,,777010601x x k k k k Rx x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦7、当λ为何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 有解？并求其通解.解 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----22111212112λλ第一行除以2后加到第二行、第三行；第一行除以)2(-.~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------15.15.1015.15.1015.05.012λλ~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----)1)(2(015.15.1015.05.01λλλ.当2-=λ或1=λ时，32)()(<==A R A R ，非齐次线性方程组有解.当1=λ时，A ~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0005.15.1015.05.01~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0001101101，原方程组同解于⎩⎨⎧=-=-013231x x x x ,⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x ,通解R k k x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,111001ϖ.当2-=λ时，A ~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0035.15.1015.05.01~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0021102101，原方程组同解于⎩⎨⎧=-=-223231x x x x ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,通解R k k x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,111022ϖ.8、当λ为何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？此时求其通解.解 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21111111λλλλλ第二行减去第一行；第三行减去第一行的λ倍.~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------λλλλλλλλ221101110111~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+---)1)(1()1)(2(01110111λλλλλλλλ.当2-≠λ且1≠λ时，3)()(==A R A R ，有唯一解. 当2-=λ时，)()(A R A R <，无解.当1=λ时，31)()(<==A R A R ，有无穷多解.A ~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000001111，原方程组同解于1321=++x x x ,⎪⎩⎪⎨⎧==--=33223211x x x x x x x ,通解R k k k k x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121,,101011001ϖ.9、当b a ,为何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4423321321321bx x x x ax x x ax x （1）有唯一解;（2）无解;（3）有无穷多解？此时求其通解.解A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4114121311ba a⎢⎢⎢⎣⎡~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2111002101b a ~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----a b a b 21)1(021102101.当0≠a 且1≠b 时，3)()(==A R A R ，有唯一解. 当0=a 时，或者当1,21=≠b a 时，)()(A R A R <，无解.当1,21==b a 时，32)()(<==A R A R ，有无穷多解.A~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0020102101，原方程组同解于⎩⎨⎧==+22231x x x ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=3323122xx x x x ，通解Rk k x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,101022ϖ.10、设向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1021a αϖ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=5112αϖ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4113αϖ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b 1βϖ 试问：当c b a ,,满足什么条件时 （1）βϖ能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,且表示式唯一；（2）βϖ不能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,（3）βϖ能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.分析：非齐次线性方程组11αϖx +22αϖx 33αϖx +=βϖ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--c x x x bx x x x x ax 321321321451021（1）只有一个解⇔βϖ能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,且表示式唯一； （2）无解⇔βϖ不能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,（3）有无穷多解⇔βϖ能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.解A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--c b a4510112111~2112111054~001522220222b bc c b a a a ab ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++-⎣⎦⎣⎦21042104~0015~020(2)(4)2(1)02220015c b c b b c a a c b b a a ab b c --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦⎣⎦当2-≠a 时，3)()(==A R A R ，βϖ能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示,且表示式唯一.当2-=a 且1-≠b 时，βϖ不能由1αϖ,2αϖ,3αϖ线性表示.当2-=a ，时，32)()(<==A R A R ，有无穷多解.A ~210400150000c c +⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 原方程组同解于⎩⎨⎧--=+=+542321c x c x x ，⎪⎩⎪⎨⎧--==--=55.025.0321c x k x kc x ，一般表示式βϖ=1)4(21αϖk c --+2αϖk 3)5(αϖ+-c R k ∈,. 11、 设*ηρ是非齐次线性方程组βρρ=x A 的一个解，r n -ξξξρΛρρ,,21是对应的齐次线性方程组0ρρ=x A 的一个基础解系.证明 （1）*ηρ，r n -ξξξρΛρρ,,,21线性无关；（2）*ηρ，r n -+++ξηξηξηρρΛρρρρ*,,*,*21线性无关.证 （1）假设*ηρ，rn -ξξξρΛρρ,,21线性相关，由条件rn -ξξξρΛρρ,,21线性无关，则*ηρ能由rn -ξξξρΛρρ,,21线性表示，即存在rn k k k -,,,21Λ，使*ηρ=r n r n k k k --+++ξξξρΛρρ2211，而r n -ξξξρΛρρ,,,21是0ρρ=x A 的解，则*ηρ也是0ρρ=x A 的解.矛盾，故*ηρ，r n -ξξξρΛρρ,,21线性无关.（2）设*ηρk 0)*()*()*(2211ρρρΛρρρρ=++++++--r n r n k k k ξηξηξη，即*)(21ηρΛr n k k k k -+++++r n r n k k k --+++ξξξρΛρρ2211=0ρ，由*ηρ，rn -ξξξρΛρρ,,21线性无关得，0,,0,0,02121====++++--r n r n k k k k k k k ΛΛ，即rn k k k k -,,,,21Λ全为零，所以*ηρ，r n -+++ξηξηξηρρΛρρρρ*,,*,*21线性无关.12、设非齐次线性方程组βρρ=x A 的系数矩阵的秩为r ，121,,,+-r n ηηηρΛρρ是它的1+-r n 个线性无关的解.证明它的通解为112211+-+-++=r n r n k k k x ηηηρΛρρρ，其中1121=+++-r n k k k Λ证 121,,,+-r n ηηηρΛρρ是βρρ=x A 的1+-r n 个线性无关的解，则12ηηρρ-，13ηηρρ-，11,ηηρρΛ-+-r n 是0ρρ=x A 的r n -个线性无关的解，因此12ηηρρ-，13ηηρρ-，11,ηηρρΛ-+-r n 为ρρ=x A 的一个基础解系，βρρ=x A 的通解为1ηρρ=x )(122ηηρρ-+k )(133ηηρρ-+k +)(111ηηρρΛ-+++-+-r n r n k=11221132)1(+-+-+-++----r n r n r n k k k k k ηηηρΛρρΛ =112211+-+-++r n r n k k k ηηηρΛρρ 其中13211+-----=r n k k k k Λ，1121=+++-r n k k k Λ13、设四元非齐次线性方程组βρρ=x A 的系数矩阵的秩为2，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3322,4321,1111321ηηηρρρ是它的三个解向量，求该方程组βρρ=x A 的通解. 解 2,2,4=-==r n r n ，0ρρ=x A 的基础解系中只有2个线性无关的解向量，而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-=3210121ηηξρρρ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-=2211132ηηξρρρ是0ρρ=x A 的2个线性无关的解向量，于是0ρρ=x A 的通解为2211ξξρρk k +，方程组βρρ=x A 的通解1ηρρ=x 2211ξξρρk k ++ 14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，已知它的三个解向量1ηρ，2ηρ，3ηρ满足1ηρ+2ηρ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321，2ηρ+3ηρ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110，3ηρ+1ηρ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101，求它的通解解3=n ，1)(=A R ，的基础解系中只有两个解向量.因为1ηρ3ηρ-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡231，1ηρ2ηρ-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011是两个线性无关的解；1ηρ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5.15.11该三元非齐次线性方程组的通解=x ρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5.15.1121231kk +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01115、 设A ，B 是n 阶方阵，且0=AB ，证明n B R A R ≤+)()( 证 （1）当n A R =)(时，0≠A ，A 可逆，则0)(11--=A AB A，即0=B ，0)(=B R ，此时n B R A R =+)()(.（2）当n r A R <=)(时，0=AX 的基础解系中只有r n -个线性无关的解向量，即0=AX 的解向量组的秩为r n -.设[]n X X X B Λ21=，由0=AB 得，n X X X Λ,,21为0=AX 的n 个解向量，所以=)(B R 向量组n X X X Λ,,21的秩r n -≤.故n B R A R ≤+)()(.17、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1311111bb a A ，B是三阶非零矩阵，且0=AB ，求解 由0≠B 、0=AB 知1)(≥B R 、3)()(≤+B R A R ，于是2)(≤A R ，0)1(21311111=-==a b bb a A ，1=a 或0=b ，此时2)(=A R ，1)(3)(=-≤A R B R ，1)(=B R 18、设A 是n m ⨯矩阵，证明 )()'(A R A A R =分析 若能够证明0ρρ=X A 与0'ρρ=X A A 同解，则)()'(A R A A R =证 设0ρρ=X A 成立，则0'ρρ=X A A 一定成立.若0'ρρ=X A A ，则0''ρρϖ=X A A X ，于是===X A X A X A X A X A ϖϖϖϖϖ)'(],[20''ρρϖ=X A A X ，即0ρρ=X A故0ρρ=X A 与0'ρρ=X A A 同解，)()'(A R A A R =。