北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总第一章三角形的证明1等腰三角形1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（）A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°【答案】D【解析】①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即顶角的度数为45°.②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°，∴∠BAC=135°.故选：D．2．如图，在△AB C中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE ＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个【答案】D【解析】在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形；因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACD=∠DCB=36°，所以△ACD是等腰三角形；在△BD C中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，所以△BDC是等腰三角形；所以BD=BC=BE，所以△BDE 是等腰三角形；所以∠BDE=72°，∠ADE=36°，所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D3．如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A【解析】在△AB C中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A．4．如图，在△AB C中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】D【解析】∵△AB D中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选：B．5．如图，在△AB C中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为____.【答案】72°【解析】∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°-36°）÷2=72°，∠DCB=36°．∴∠BDC=72°．故答案为：72°6．在△AB C中，AB＝AC，且BC＝8cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2cm，则等腰三角形的腰长为__________.【答案】10cm或6cm【解析】如图∵BD是腰AC的中线，∴AD=CD，①当△ABD的周长与△BCD的周长差为2时，即AB+AD+BD-(BD+BC+CD)=2,∴AB-BC=2,∵BC=8cm，∴AB=10cm.②当△BCD的周长与△ABD的周长差为2时，即BD+BC+CD -(AB+AD+BD)=2,∴BC - AB =2,∵BC=8cm，∴AB=6cm.所以等腰三角形的腰长为10cm或6cm.7．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）求出∠AFB的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC（等边三角形三边都相等），∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS）．（2）∵△ABE≌△BCD（已证），∴∠BAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），∵∠AFD=∠ABF+∠BAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°．2直角三角形1．（2019·河北初二期末）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=12∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG;其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，∴∠DFB=45°=1 2∠CGE，∴∠CGE=2∠DFB，∴∠DFB=12∠CGE，故正确．故选C．2. （2019·福建初二期中）如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH=∠ADB=90°．∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠HBD=∠EAH．∵DH=DC，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，BH=AC；②∵BC=AC，∴∠BAC=∠ABC．由①知，在Rt△ABD中，∵BD=AD，∴∠ABC=45°，∴∠BAC=45°，∴∠ACB=90°．∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，∴结论②为错误结论．③由①证明知，△BDH≌△ADC，∴BH=AC；④∵CE=CD，∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°，∴△BEC≌△ADC，由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，∴结论④为错误结论．综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．故选B．3. （2019·江西初二期中）三角形的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵(a+2b−60)2+|b−，∴a+2b−60=0，b−18=0，c−30=0，∴a=24，b=18，c=30，∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形，故选：D.4. （2019·湖南初一期末）已知两个分别含有30°，45°角的一幅直角三角板．（1）如图1叠放在一起，若∠CAD=4∠BAD，请计算∠CAE的度数；（2）如图2叠放在一起，使∠ACE=2∠BCD，请计算∠ACD的度数．【解析】解：（1）由∠CAD+∠BAD=90°，∠CAD=4∠BAD，∴5∠BAD=90°，∴∠BAD=18°，∴∠CAE=18°；（2）设∠BCE=α，∵∠ACE=2∠BCD，∴90-α=2（60-α），∴α=30°，即∠BCE=30°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=120°．5. （2019·全国初二课时练习）如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．【解析】连接AC ，∵∠ADC=90°∴在Rt△ADC中，AC2= AD2+CD2=42+32=25，∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132=169，∴AC2+BC2= AB2 ，∴∠ACB=90°，∴S=S△ACB－S△ADC=12×12×5－12×4×3=24m2答：这块地的面积是24平方米6. （2019·江苏初二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；（2）判断△ABC的形状；（3）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．【解析】解：（1）由题意可知：A(-1,5),B(-2,0),C(-4,3); (2)根据勾股定理可得：2221526AB =+= 2223213BC =+=2223213AC =+=∴BC=AC，且222BC AC AB += ∴△ABC 是等腰直角三角形； (3) △A 'B 'C '如图所示：7. （2019·广东初二期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，CD ＝3，AD ＝1，且∠ABC ＝90°，连接AC ． （1）求AC 的长度．（2）求证△ACD 是直角三角形． （3）求四边形ABCD 的面积？【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC为斜边，且AB＝BC＝2，则AC＝22AB BC+＝2222+＝22．（2）∵AD＝1，CD＝3，AC＝22∴AC2+AD2＝CD2，即△ACD为直角三角形，且∠DAC＝90°，（3）四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝12AB×BC+12AD×AC＝12×2×2+12×1×22＝2+2．答：四边形ABCD的面积为2+2．3线段的垂直平分线1．如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为（）A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°【答案】D【解析】根据作图方法可得BD=CD，则∠DCB=∠B=25°，则∠CDA=50°，∵CD=AC，则∠A=∠CDA=50°，则∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°．2. 在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A. 10°B. 15°C. 40°D. 50°【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，∴∠ACB=50°．∵AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=50°﹣40°=10°．故选A．3. 点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是( )A. 11B. 16C. 24D. 64【答案】C【解析】∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴OB=OC=OA=8cm，∴OA+OB+OC=24cm，故选C．4. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．5. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④【答案】C【解析】因为AB＝AC∠∠A＝36°∠MN垂直平分AC，所以∠B＝∠ACB＝72°，DA＝DC，所以∠A＝∠ACD＝36°.①因为∠BDC＝∠A＋∠ACD，所以∠BDC＝36°＋36°＝72°，所以∠B＝∠BDC，所以△BCD是等腰三角形.则①正确；②因为∠ACB＝72°，∠ACD＝36°，所以CD平分∠ACB.则②正确；③因为DA＝DC，所以C△BCD＝BC＋CD＋DB＝BC＋DA＋DB＝BC＋AB.则③正确.④△ADM是直角三角形，△BCD不是直角三角形，则④不正确.故选C.6. ∠∠∠∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∠∠BD,∠∠ABD= __°∠∵∠△ABC∠∠AB=BC∠∠ABC=110°∠∴∠A=∠C=35°∠∵AB∠∠∠∠∠∠DE∠AC∠∠D∠∴AD=BD∠∴∠ABD=∠A=35°∠∠∠∠∠35∠7. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？【解析】∠1∠∵在△ABC中，边AB∠AC的垂直平分线分别交BC于D∠E∠∴AD=BD∠AE=EC∠∵BC=8∠∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8∠∠2∠∵∠BAC=118°∠∴∠B+∠C=62°∠∵DA=DB∠EA=EC∠∴∠BAD=∠B∠∠EAC=∠C∠∴∠BAD+∠EAC=62°∠56∠DAE=ο8.如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF=FC．【解析】连接AF∠∵AB=AC∠∠BAC=120°∠∴∠B=∠C=30°∠∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF∠∴∠BAF=∠B=30°∠∴∠FAC=120°-30°=90°∠∵∠C=30°∠∴AF=CF∠∵BF=AF∠∴BF=FC∠4角的平分线1．如图，已知点P到AE∠AD∠BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC∠∠CBE∠∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③【答案】A【解析】∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选A.2.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A. 1︰1︰1B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰5【答案】C【解析】三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O点为△ABC的内心，则O点到△ABC三边的距离相等，设距离为r，有S∠ABO=×AB×r∠S∠BCO=×BC×r∠S∠CAO=×CA×r，所以S∠ABO:S∠BCO:S∠CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.3. 如图，在Rt∠ABC中，∠C∠90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC∠AB 于点M∠N，再分别以点M∠N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD∠5∠AB∠18，则△ABD的面积是（）A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】C【解析】由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ，又∵∠C ＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积等于AB ⋅DE ＝×18×5＝45.故选C.4. 如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ，下列结论中不一定成立的是（ ）A. PA PB =B. PO 平分APB ∠C. OA OB =D. AB 垂直平分OP【答案】D 【解析】∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB∴PA=PB∴∴OPA∴∴OPB∴∴APO=∴BPO ，OA=OB∴A 、B 、C 项正确设PO 与AB 相交于E∴OA=OB ，∴AOP=∴BOP ，OE=OE∴∴AOE∴∴BOE∴∴AEO=∴BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E∠BC=6∠CD=3∠AE=4，则DE=_______∠AD=_______∠△ABC的周长是_______∠【答案】(1). 3(2). 5(3). 24【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90º∠BD是角平分线，DE⊥AB∠∴CD=DE=3∠∴Rt△BCD ≌Rt△BED∠∴BC=BE=6∠又∵AE=4∠∴AB=10∠∴AC=8∠∴AD=5∠∴△ABC周长=24.故答案为3,5,24.6. 如图，△ABC中，∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠DE是AB的垂直平分线，DE= 12BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.【答案】4.5【解析】∵∠C=90º∠BD平分∠ABC交AC于D∠12BD∠∴BD=3.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=3.∴AC=4.5∠故答案为4.5.7. 如图，已知CD∠AB于点D，BE∠AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB.【解析】(1)连接AO，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CEB=∠BDO=90°，又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等），∴∠C=∠B（等角的余角相等），∴△CEO和△BDO中，C BOC OBCOE BOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEO≌△BDO（ASA），∴OE=OD（全等三角形的对应边相等），又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴点O在∠BAC的平分线上；∴DE=CD=1.5∠又∵DE=(2)∵AO 平分∠BAC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴OD=OE ，在△DOB 和△EOC 中，DOB EOC OD OEODB OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOB ≌△EOC （ASA ），∴OB=OC ．8. 如图，已知AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，且BC=CD.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.【答案】详见解析【解析】（1）证明：∵AC 是角平分线，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ， ∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE 和Rt△DCF 中，∴△BCE ≌△DCF ；（2）解：∵CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，∴∠F=∠CEA=90°，在Rt△FAC 和Rt△EAC 中，， ∴Rt △FAC ≌Rt △EAC ，∴AF=AE ，。