圆的大题训练（含答案）1、（2013四川绵阳，21，12分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交⊙O 于E ，连接CE 。
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若E 是 的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积。
解（1）直线CD 与⊙O 相切。
证明：连结AC ，OA=OC ，∠OAC=∠OCA ，AC 平分∠DAB ，∠DAC=∠OAC ，∠DAC=∠OCA ，AD//OC ，AD ⊥CD ，OC ⊥CD ，CD 与⊙O 相切。
（2）连结OE ，， 点E 是 的中点，，∠DAC=∠ECA （相等的弧所对的圆周角相等），∠DAC=∠OAC （（1）中已证），∠ECA=∠OAC ，CE//OA ，AD//OC ，四边形AOCE 是平行四边形，CE=OA ，AE=OC ， OA=OC=OE=1，OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE 是菱形，△OCE 是等边三角形，∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，AD ⊥CD ，在Rt △DCE 中，ED= 12 CE = 12 ,DC=cos30º•CE= 32, CE 弧与CE 弦所围成部分的面积 = AE 弧与AE 弦所围成部分的面积，S 阴影=S △DCE =12 •ED •DC=12 ×12 ×32 = 38. 答：图中阴影部分的面积为38。
2、（2013四川内江，25，12分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC ．（1）求证：BC 平分∠PDB ；（2）求证：BC 2=AB •BD ；（3）若PA=6，PC=6，求BD 的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．解答：（1）证明：连接OC，∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD，∵BD⊥PD，∴OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CBD=∠OBC，则BC平分∠PBD；（2）证明：连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴=，即BC2=AB•BD；（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12，∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6，∴OC=3，PO=PA+AO=9，∵△OCP∽△BDP，∴=，即=，则BD=4．点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．3、（2013贵州省黔西南州，22，12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P 在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．专题：几何综合题．分析：（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=35，所以可以求得圆的直径．解答：（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=35，即=35，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．4、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB 的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：AB：AC=BF：DF．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；（2）证△ABD∽△CAD，推出=，证△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．解答：证明：（1）连结DO、DA，∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°，∵CE=EA，∴DE=EA，∴∠1=∠4，∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，∴∠4=∠DBA，∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD，∴=，∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠3=∠FDB，∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB，∴=，∴=，即AB ：AC=BF ：DF ．点评： 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．5、（2013四川宜宾，22，8分）(本题满分8分)如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)连接OC 交DE 于点F ，若OF =CF ，求tan ∠ACO 的值．【思路分析】（1）连接OD 、OE 、BD 由△ODE ≌△OBE 证明O D ⊥DE （∠ODE =90°）.（2）要求tan ∠ACO 的值首先应将∠ACO 构造在直角三角形中，可过点O 作AC 的垂直平分线，因为O ，E 分别为AB,BC 的中点可得OE 为△ABC 的中位线，因为OF =CF 所以△DCF ≌△EOF 得到OE=CD=AD.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB=AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A =45°，由垂径定理及等腰三角形的性质可知OH =AH =DH ，所以CH =3OH ，故tan ∠ACO =31 CH OH 【解】 (1)连接OD 、OE 、BD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠CDB =∠ADB =90°，∵E 点是BC 的中点，∴DE =CE =BE ．∵OD =OB ，OE =OE ，∴△ODE ≌△OBE ．∴∠ODE =∠OBE =90°，∴直线DE 是⊙O 的切线．(2)作OH ⊥AC 于点H ，由(1)知，BD ⊥AC ，EC =EB ．∵OA =OB ，∴OE ∥AC ，且AC OE 21=． ∴∠CDF =∠OEF ，∠DCF =∠EOF ．∵CF =OF ， ∴△DCF ≌△EOF ， ∴DC =OE =AD ．∴BA =BC ， ∴∠A =45°．∵OH ⊥AD ，∴OH =AH =DH ．∴CH =3OH ，∴tan ∠ACO =31=CH OH ． 【方法指导】（1）证切线共有两种类型题①已知半径则证垂直.在证垂直时要充分运用题目中已有的直角.②不知半径则作垂直证半径.（2）要求一个锐角的三角函数值首先要把这个角构造在直角三角形中或把与这个角相等的角构造在直角三角形中.解决此类问题要注意三角形中位线、线段垂直平分线及三角形全等（相似）等知识的应用.6、（2013四川泸州，24，10分）如图，D 为O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CDA CBD ∠=∠．第24题图C EOB A D（1）求证：2CD CA CB =⋅；（2）求证：CD 是O 的切线；（3）过点B 作O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC ＝12，tan CDA ∠＝23，求BE 的长．【答案】（1）证明：,CDA CBD DCA BCD ∠=∠∠=∠，∴△ACD ～△DCB ，∴CD CA CB AD=，即2CD CA CB = ， （2）证明：连OD ，OE ，如图，∵AB 为直径，∴090ADB ∠=，即090ADO BDO ∠+∠=，又∵CDA CBD ∠=∠，而CBD BDO ∠=∠，∴BDO CDA =∠，∴090CDA ADO ∠+∠=，即090CDO ∠=，∴CD 是O 的切线．（3）解：∵EB 为O 的切线，∴ED ＝EB ，OE ⊥BD ．∴ABD OEB ∠=∠，∴CDA OEB ∠=∠． 而tan CDA ∠＝23，∴tan OB OEB BE ∠=＝23， ∵Rt △CDO ～△CBE ，∴23CD OD OB CB BE BE ===， ∴21283CD =⨯=， 在Rt △CBE 中，设BE ＝x ，∴()222812x x +=+，解得5x =． 即BE 的长为5．【解析】（1）通过相似三角形（△ADC ∽△DBC ）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD ．欲证明CD 是⊙O 的切线，只需证明CD ⊥OA 即可；（3）通过相似三角形△EBC ∽△ODC 的对应边成比例列出关于BE 的方程，通过解方程来求线段BE 的长度即可．【方法指导】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；同时考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．。