2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=集合的实部和虚部分别是（ ） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 2.已知集合{1,0,2}P =-，Q {sin ,R}y y θθ==∈，则P Q =I （ ） A ．∅ B ．{0} C ．{1,0}- D ．{1,0,2}-3.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.84.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，都有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题5.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（ ） A ．718 B ．2518C.718- D ．2518-6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．2163π-B ．216 4.5π- C.2166π- D ．2169π-7.已知函数()2sin(2)6fx x π=+，现将()y f x =的图形向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在5[0,]24π上的值域为（ ） A ．[1,2]- B ．[0,1] C.[0,2] D ．[1,0]-8.我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =，输出的a =（ ）A ．66B ．12 C.36 D ．1989.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩若不等式2(1)2a x xy -+2(42)0a y +-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．73 B ．53C 5.D 6． 10.已知函数()ln f x x =，()(23)g x m x n =++，若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记(23)m n +的最小值为(,)f m n ，则(,)f m n 最大值为（ ） A ．1 B ．1e C. 21eD ．1e11.设双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A．52B．102C.52D5．12.已知偶函数()f x满足(4)(4)f x f x+=-，且当(0,4]x∈时，ln(2)()xf xx=，关于x的不等式2()()0f x af x+>在区间[200200]-，上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A．1(ln2ln6)3--， B．1(ln2ln6]3--， C.13ln2(ln6)34--， D．13ln2(ln6)34--，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量ar，br，1a=r，2b=r且1a b⋅=r r，若er为平面单位向量，则()a b e+⋅r r r的最大值为．14.二项式651()xx x+展开式中的常数项是．15.已知点A是抛物线C：22x py=（0p>）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点(08)M，为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO△为等边三角形，则p的值是．16.已知在直三棱柱111ABC A B C-中，120BAC∠=︒，1AB AC==，12AA=，若1AA棱在正视图的投影面α内，且AB与投影面α所成角为θ（3060θ︒≤≤︒），设正视图的面积为m，侧视图的面积为n，当θ变化时，mn的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a的前n（*n∈N）项和为n S，数列{}n b是等比数列，13a=，11b=，2210b S+=，5232a b a-=.（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若2nnnnScb n⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，为数为数，设数列{}n c的前n项和为n T，求2n T.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=︒，2PA AB==，点E、F 分别为BC、PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.（1）已知平面PAB I 平面PCD l =，求证：AB l ∥； （2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续18年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩385亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份 2013 2014 2015 2016时间代号t 1 2 3 4 年销量y （亿包/桶）462444404385(1)根据上表，求y 关于t 的线性回归方程$$y bt a =+$.用所求回归方程预测2017 年(5t =)方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查,其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面,3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历，现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.参考公式：回归方程：$$y bt a =+$，其中121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 参考数据：41()()135.5i i i t t y y =--=-∑.20.如图，设抛物线1:C 24y mx =-（0m >）的准线l 与x 轴交于椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F ，1F 为2C 的左焦点，椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F △的边长恰好时三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.21.已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与y 轴垂直. （1）求()f x 的单调区间； （2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+⋅<+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知()11f x x =-+，()3()1233f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩，，，，（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.参考答案及解析一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD二、填空题13.7 14.5 15.2316.33 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=， ∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d =，2q =， ∴21n a n =+，12n n b -= （2）由（1）知(321)(2)2n n n Sn n ++==+ ∴11122n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩奇偶，，为数为数∴211111(1)3352121n T n n =-+-++--+L 13521(2222)n -+++++L 21121321n n ++=-+18.解：（1）∵AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB I 平面PCD l =， ∴AB l ∥.（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，2AB =， ∴1BE =，3AE =，AE BC ⊥， ∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE AD 、AP 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则(020)D ，，，(002)P ，，，(310)C ，，，(300)E ，，， ∴(011)F ，，，(300)AE =u u u r ，，，(011)AF =u u u r ，，，(310)DC =-u u u r ，，，(022)DP =-u u u r ，，， 设平面PCD 的法向量为()n x y z =r，，， 得(133)n =r，，.设(1)AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则(32(1))AQ λλλ=-，，，AQ mAE nAF =+u u u r u u u r u u u r，则332(1)m n n λλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，， 解得23m n λ===， ∴222(3)333AQ =u u u r ，，，设直线AQ 与平面PCD 所成角为α， 则3105sin cos 35n AQ α=<>=r u u u r ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为31053519.解：（1） 2.5t =，423.75y =，241()5ii t t =-=∑，135.527.15b -==-$，$423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=， 所以$27.1491.5y t =-+ 当5t =时，$27.15491.5356y =-⨯+= （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以373107(0)24C P C ξ===；123731021(1)40C C P C ξ===；21373107(2)40C C P C ξ===；333101(3)120C P C ξ===，ξ 0123P72421407401120721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）因为c m =，12c e a ==， 则2a m =，3b m = 所以32a b+取最小时值时1m =， 此时抛物线1C ：24y x =-，此时2a =，23b =，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=.（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =， 设椭圆2222143x y m m +=，00()P x y ，，11()Q x y ，由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=， 所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0263y m =，即226()33m mP -，，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(30)F =-，，(226)P -，， 则直线PQ 的方程为26(3)y x =+，联立226(3)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去）于是9(36)2Q --， 所以22925(2)(2636)22PQ =-+++=，设2()12t M t -，（(3626)t ∈-，）到直线PQ 的距离为d ， 则26675()3022d t =⨯+- 当62t =-时，max 675563024d =⨯=， 所以MPQ △的面积最大值为12556125622216⨯⨯=，MP ：426633y x =--. 21.解：（1）因为1ln 2()x x kx f x e-+'=（0x >），由已知得12(1)0k f e +'==，所以12k =-， 所以1ln 1()xx x f x e --'=，设1()ln 1k x x x=--，则211()0k x x x'=--<在(0)+∞，上恒成立， 即()k x 在(0)+∞，上单调递减， 由(1)0k =知，当01x <<时，()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时，()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(01)，，单调递减区间是(1)+∞，， （2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立.当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1x e >，且由（1）知，()0g x >，所以1ln ()1ln xx x xg x x x x e --=<--.设()1ln F x x x x =--，(01)x ∈，， 则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0)x e -∈，时，()0F x '> 当2(1)x e -∈，时，()0F x '<， 所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+， 所以2()()1g x F x e -<≤+， 即当01x <<时，2()1g x e -<+，①综上所述，对任意0x >，2()1g x e -<+恒成立，令()1x G x e x =--（0x >），则()10x G x e '=->恒成立，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>， 即1101x e x <<+.② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+；当01x <<时，由①②式，2()11x g x e e x -+<+.综上所述，当0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立.22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线22:4C y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=， 可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+， 联立直线l 与曲线2C ：24y x =，可得22sin 4cos 40t t αα--=.则1224sin FM FN t t α⋅==，即2221111sin 4141sin sin FA FB FM FN ααα+==⋅+108⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 23.解：（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1[)3-+∞，. （2）113()1233x x F x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，即21()131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(13)，.。