指数与指数函数[考试要求] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)n 次方根的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)． ②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n＝＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，a 是底数，指数函数的定义域为R .提醒：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 过定点(0,1)性质当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a x 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)． ( )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 2 [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2.]2．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. －2x 2y [416x 8y 4＝4(2x 2y )4＝|2x 2y |＝－2x 2y .]3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－13，b ＝⎝⎛⎭⎫35－14，c ＝⎝⎛⎭⎫32－34，则a ，b ，c 的大小关系是________． c ＜b ＜a [∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫35－13＞⎝⎛⎭⎫35－14＞⎝⎛⎭⎫350， 则a ＞b ＞1，又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34＜⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴c ＜b ＜a .]4．某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)[当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，当x＝3时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，……当x＝m时，y＝a(1＋p%)m，因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．]考点一指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．1．计算：⎝⎛⎭⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________.－1679[原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋50012－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]2．3．已知ab ＝－5，则a－b a ＋b －ab＝________. 0 [由ab ＝－5知a 与b 异号， ∴a－b a＋b －a b＝a －ab a 2＋b －ab b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.] 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如⎝⎛⎭⎫14－12＝412.考点二 指数函数的图象及其应用指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解[典例1] (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(0,1) [(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.故选D ．(2)曲线y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．][母题变迁]1．若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．(0，＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．]2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1] [作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]点评：注意区分函数y＝3|x|与y＝|3x|y＝3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上方，在这里y＝|3x|＝3x.[跟进训练]1．已知函数f(x)＝a x－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A．y＝1－x B．y＝|x－2|C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)A[易知A(1,1)．经验证可得y＝1－x的图象不经过点A(1,1)，故选A．]2．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________(填序号)．③④[作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，而③④不可能成立．]考点三指数函数的性质及其应用比较指数式的大小比较幂值大小的三种类型及处理方法A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)A(2)B[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c，故选A．(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识．解简单的指数方程或不等式指数方程或不等式的解法(1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．②af (x )＞a g (x )，当a ＞1时，等价于f (x )＞g (x )； 当0＜a ＜1时，等价于f (x )＜g (x )． (2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．[典例2－2] (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．(1)12 (2)(－3,1) [(1)当a ＜1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若a ＜0，则f (a )＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a＜8，解得a ＞－3，故－3＜a ＜0； 若a ≥0，则f (a )＜1⇔a ＜1，解得a ＜1，故0≤a ＜1. 综合可得－3＜a ＜1.]与指数函数有关的复合函数的单调性、值域1.与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数y ＝af (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关： (1)若a ＞1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间；(2)若0＜a ＜1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”．形如y ＝af (x )的函数的值域，可先求f (x )的值域再根据函数y ＝a t 的单调性确定y ＝af (x )的值域．[典例2－3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f (x )的值域为(0，＋∞)， 应使y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则y ＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.点评：形如y ＝af (x )(a ＞0)的函数的定义域就是函数y ＝f (x )的定义域． [跟进训练]1．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( ) A ．⎣⎡⎭⎫18，2 B ．⎣⎡⎦⎤18，2 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，18 D ．[2，＋∞)B [2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2 ⇔2x 2＋1≤24－2x ⇔x 2＋1≤4－2x ， 解得－3≤x ≤1，∴2－3≤2x ≤2，即18≤y ≤2，故选B ．]2．已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，则f (a )，f (b )的大小关系是________． f (a )＞f (b ) [a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714，则⎝⎛⎭⎫9714＞⎝⎛⎭⎫9715，即a ＞b ， 又函数f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函数． ∴f (a )＞f (b )．]3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －1的值域是________． (0,4] [设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t.因为0＜12＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t为关于t 的减函数． 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，所以0＜y ＝⎝⎛⎭⎫12t≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．⎣⎡⎦⎤34，57 [令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，由x ∈[－3,2]得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， 当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57，故所求值域为⎣⎡⎦⎤34，57.] 考点四 指数型函数的综合应用指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．[典例3] 已知函数f (x )＝2a 2a x ＋a (a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈[1,2]时，2＋mf (x )－2x ≥0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2a －x －4＋a 2a －x ＋a ＝－2a x －4＋a 2a x ＋a，得a ＝2. (注：本题也可由f (0)＝0解得a ＝2，但要进行验证)(2)由(1)可得f (x )＝2·2x －22·2x ＋2＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， ∴函数f (x )在R 上单调递增．又2x ＋1＞1，∴－2＜－22x ＋1＜0， ∴－1＜1－22x ＋1＜1. ∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2x －12x ＋1＞0. 由题意得mf (x )＝m ·2x －12x ＋1≥2x －2在x ∈[1,2]时恒成立， ∴m ≥(2x ＋1)(2x －2)2x －1在x ∈[1,2]时恒成立． 令t ＝2x －1,1≤t ≤3，则有m ≥(t ＋2)(t －1)t ＝t －2t＋1. ∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数， ∴⎝⎛⎭⎫t －2t ＋1max ＝103.∴m ≥103. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞. 点评：在指数型函数的综合应用中，把a x 看作一个整体，即令t ＝a x 是常用的思维意识．[跟进训练]已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域和值域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性．[解] (1)由a x ＋1＞1知，f (x )的定义域为R ，f (x )＝a x －1a x ＋1＝1－2a x ＋1， 由a x ＋1＞1得0＜2a x ＋1＜2， ∴－1＜f (x )＜1，即函数f (x )的值域为(－1,1)．(2)因为f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝(a x ＋1)－2a x ＋1＝1－2a x ＋1. 设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2ax 2＋1－2ax 1＋1＝.。