2T，GMr2mmvr2
，解得：M
v3T
2G
由上述各推导可知，只知道卫星的周期无法求出
地球的质量．
题型二 有关卫星轨道问题
【例5】(单选)我国已经成功发射一颗绕月运行的探月卫 星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近
月球表面．已知月球的质量约为地球质量的 1 ，月球 81
的半径约为地球半径的1，地球上的第一宇宙速度约为 4
跟踪训练2 (单选)(广东卷)如图442是“嫦娥一号”奔 月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨， 进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月 卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
图442
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成 反比 D．在绕圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的 引力
8R
动 学 知 识 有 0t
t
2 得t
0
2
g 8R
.
【错解原因】正确解答本题的关键在于弄清卫星与
地球哪个转得快些．采用上述解法的同学大多是这
样来判断的：由G
Mm R2
mg
m02R与G
Mm (2R)2
m2 2R可知0 2 2 ，故再次到达A点正上方 时应有0t t 2.
出现上述错误判断的根本原因在于，误认为物体 随地球自转的角速度与物体绕地球表面做圆周运动时 (近地卫星)的角速度相等．事实上，地面上的物体随 地球自转时，万有引力的一个分力提供向心力，另一 分力产生重力；而绕地球表面做圆周运动时则万有引 力完全提供向心力，故绕地球表面做圆周运动时的向 心力远远大于随地球自转的情况，其角速度也大于地 球自转的角速度．因此，不能直接比较卫星角速度与 地球自转角速度的大小，而可转换研究对象，比较卫 星与地球同步卫星的角速度大小，则可知该卫星角速 度比地球大．
6．不理解第一宇宙速度是近地卫星的线速度， 也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而发射 这样的卫星耗能最小．
【例3】如图441所示，一颗轨道位于赤道所在平面、 运行方向与地球自转方向相同的人造卫星，其圆形轨 道半径为地球半径R的两倍，设地球自转的角速度为 ω0，若某时刻卫星通过地面上A点的正上方，求从这 时刻起到它下一次到达A点正上方所需要的时间．(已 知地球表面的重力加速度为g)
m
v12 ， R1
①
得 卫 星 绕 地 运 行 的 速 率 v1
G m1， R1
②
其 中 v1 7.9km / s
③
同 理 卫 星 绕 月 运 行 的 速 率 v2
Gm2 R2
④
由 ② ③ ④ 得 v2 1.8 k m / s， B 正 确 ．
【答案】B 【思维拓展】对于一些估算题题目中已知条件一般较 少(如本题可以不给出地球表面的第一宇宙速度 7.9km/s)，那就要求充分利用一些已知常量，如地球 表 面 的 重 力 加 速 度 g=9.8m/s2 ， 地 球 的 半 径 R=6.4×103km，地球自转周期T=24h，月球绕地球运 转的周期为27.3d等．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方 法并解得结果．
【解析】 本题的条件分为三组：(1)月球：周期T1轨道 半径r，(2)同步卫星：周期T2，轨道半径R+h，(3)地球 表面上的物体：重力加速度为g，地球半径R，自转周 期T2.
1该同学的计算中，以卫星为研究对象，把万有
引力定律和牛顿第二定律相结合，思路完全正确，但
万有引力定律的理解和应用
【例2】地球是人类的摇篮，但人类不能永远生活在 摇篮之中，火星成了近年人类探索的星球之一，火星 和地球都是球体，假设火星的质量M1与地球的质量为 M2 之 比 为 M1/M2=p ， 火 星 的 半 径 和 地 球 的 半 径 之 比 R1/R2=q，求它们表面的重力加速度之比．
【解析】物体在火星和地球表面所受重力可以看做火
星与地球对物体的万有引力，则有：
mg G Mm，则有：g G M
R2
R2
则火星和地球表面重力加速度之比为：
g1 g2
M1R22 M2R12
p q2
【点评】 在应用万有引力定律求解问题时经常用到比 例的形式，这种方法可以最大限度减少计算量、提高 解题速度，另外，历史上在没有测出引力常数之前， 求解相关问题都是运用比例的形式来实现．
2开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有
中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定 月地距离为3.84108m，月球绕地球运动的周期为 2.36106s，试计算地球的质量M地．(G6.671011 Nm2 /kg2，结果保留一位有效数字)
【解析】1因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道
的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿 第二定律有
【解析】根据开普第三定律
R3 T2
k即 可 求 解 ．
设
地
球
绕
太
阳
运
行
半
径
为
R
，
0
同
步
卫
星
轨
道
半
径
为
R
，
1
神
七
飞
船
轨
道
半
径
为
R
2
.
由
公
式
：R
3 1
R
3 2
可求出神七的运行周期：
T12
T
2 2
T2
R
3 2
R13
T1
代 入 得 ： T1
(6.4 103 3.41 102 )3 (6.4 103 3.6 104 )3
间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运
转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g. 某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球做圆周运动，由G
Mm h2
m( 2
T
)2
h得
M 4 2h3 .
GT22
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如 不正确，请给出正确的解法和结果；
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
Mm R2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【解析】根据G(RM mH)2
m(2)2RH，A错，
T
由G(RM mH)2 mRv2H，B正确，由G(RM mH)2
mg，C错D对．选BD.
3.(2011 安徽卷)1开普勒行星运动第三定律指出：
行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与 它的公转周期T的二次方成正比，即Ta32 k，k是一 个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动 按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的 表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m行 M 太 r2
2
m行 ( T
)2 r
①
于是有 r3 T2
8R
学知识，有t 0t 2，解得t
4 .
g 2R
2 0
【纠错心得】 此题在考试中的出错率极高，少数做对 的同学也是碰巧．此题用到了“黄金代换”，而正是 未透彻把握“代换”的条件才极易导致错误．可见， 加强对概念规律的辨析、弄清适用的条件及范围是拿 高分的前提．
题型一 估算天体的质量和密度
【例4】已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之
图441
【 错 解 】 设 卫 星 绕 地 球 做 圆 周 运 动 的 角 速 度 为 ， 由
万有引力定律F
G
Mm r2
和牛顿第二定律F
m 2r得
G
Mm (2R)2
m
2
2R， 对 地 球 表 面 的 物 体 有 G
Mm R2
m g，
得 g .经 过 时 间 t卫 星 再 次 到 达 A点 正 上 方 ， 由 运
【解析】 周期变长，表明轨道半径变大，速度减小， 动能减小，引力做负功故引力势能增大，选D.
2.(双选)(2011 广东卷)已知地球质量为M，半径为R，自 转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有
关同步卫星，下列表述正确的是 BD
A．卫星距离地面的高度为3
GMT
4 2
2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
第4节
万有引力定律及其应用
对开普勒定律的理解
【例1】地球同步卫星在现代民用和国防建设中有着 重要的作用，同步卫星都位于地球赤道上空的同一轨 道上，高度为h=3.6×104km处，神舟七号在距地面高 度为341km高度绕地轨道飞行时，翟志刚成功地完成 了出舱活动，已知地球半径为R=6.4×103km，试求神 舟七号此时的绕地飞行周期．
4． 不 理 解 公 式 F
G
m1m 2 r2
和 F向
m
v 2 中 r的 含 义 ， r
若天体绕中心体做匀速圆周运动，则含义相同；若是
双 星 问 题 ， 则 两 式 中 的 r的 含 义 不 同 ．
5．不会比较不同卫星的线速度、角速度、周期、 加速度等，利用表达式判定某两个量间的关系时，应 保证其他量不变．
T
【解析】选项A：设相对地面静止的某一物体的质量 为m，根据万有引力等于重力的关系得：
mg
G
Mm R2
，解得M
gR2 G
选项B：设卫星质量为m，根据万有引力等于向
心力的关系得：
G
Mm r2
mr( 2
T
)2，解得M
4 2r3
GT 2
选项D：设卫星质量为m，根据万有引力等于向 心力的关系可得：
GMr2mmv
结果是错误的，因为卫星的轨道半径是卫星到地心的