用MATLAB编写PSO算法及实例
用MATLAB 编写PSO 算法及实例
1.1 粒子群算法
PSO 从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。

PSO 中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子。

所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适值( fitness value) ，每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离。

然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)，然后通过迭代找到最优解。

在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己；第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解称为个体极值；另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值。

另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。

假设在一个维的目标搜索空间中，有个粒子组成一个群落，其中第个粒子表示为一个维的向量
，。

第个粒子的“飞行 ”速度也是一个维的向量，记为
，。

第个粒子迄今为止搜索到的最优位置称为个体极值，记为
，。

整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值，记为
在找到这两个最优值时，粒子根据如下的公式(1.1)和( 1.2)来更新自己的速度
D N i D ),,,(21iD i i i x x x X =N i ,,2,1 =i D ),,21i iD i i v v v V ，（=3,2,1 =i i ),,,(21iD i i best p p p p =N i ,,2,1 =),,,(21gD g g best p p p g =
和位置：
(1.1) (1. 2)
其中：和为学习因子，也称加速常数(acceleration constant)，和为
[0，1]范围内的均匀随机数。

式(1.1)右边由三部分组成，第一部分为“惯性(inertia)”或“动量(momentum)”部分，反映了粒子的运动“习惯(habit)”，代表粒子有维持自己先前速度的趋势；第二部分为“认知(cognition)”部分，反映了粒子对自身历史经验的记忆(memory)或回忆(remembrance)，代表粒子有向自身历史最佳位置逼近的趋势；第三部分为“社会(social)”部分，反映了粒子间协同合作与知识共享的群体历史经验。

二、算法设计
2.1 算法流程图
2.2 算法实现
算法的流程如下：
())
(2211id gd id id id id x p r c x p r c v w v -+-+*=id id id v x x +=1c 2c 1r 2
r
① 初始化粒子群，包括群体规模N ，每个粒子的位置i x 和速度i V
② 计算每个粒子的适应度值][i F it ；%它的适应度就是指目标函数的值。

一般来说，目标函数的选择由具体问题来决定，假如是背包问题，适应度即放入包中物体的总价格。

初始粒子位置和速度的位置一般随机产生。

但是在某些领域，如果已有其他的算法可以产生可行解的话，可以用这个可行解来初始化，这样更容易得到最优的解
③ 对每个粒子，用它的适应度值][i F it 和个体极值）（i p best 比较，如果
)(][i p i F best it > ，则用][i Fit 替换掉）（i best p ；
④ 对每个粒子，用它的适应度值][i Fit 和全局极值best g 比较，如果)(][i p i F best it >则用][i F it 替best g ；
⑤ 根据公式（1.1），（1.2）更新粒子的速度i v 和位置i x ；
⑥ 如果满足结束条件(误差足够好或到达最大循环次数)退出，否则返回②。

2.3 参数选择
本算法中主要的参数变量为w （惯性权值），1c ，2c （加速因子），N （种群数），
M （迭代次数），D （粒子维数）。

（1）种群规模
通常，种群太小则不能提供足够的采样点，以致算法性能很差；种群太大尽管可以增加优化信息，阻止早熟收敛的发生，但无疑会增加计算量，造成收敛时间太长，表现为收敛速度缓慢。

种群规模一般设为100~1000。

本文选择种群规模为100。

（2）最大迭代次数
迭代次数越多能保证解的收敛性，但是影响运算速度，本文选1000次。

（3）惯性权值
惯性权重表示在多大程度上保留原来的速度。

较大，全局收敛能力强，局部收敛能力弱；较小，局部收敛能力强，全局收敛能力弱。

本文选0.6。

（4）加速因子
加速常数
和分别用于控制粒子指向自身或邻域最佳位置的运动。

文献[20]建议，并通常取。

本文也取。

（5）粒子维数
本文中粒子维数取决于待优化函数的维数。

需要说明的是，本文的程序允许改变这些参数，因为本文编写的程序参照matlab 工具箱，留给用户解决这类问题一个接口函数，上述的各个参数正是接口函数的参数，因此允许改变。

另外对于和c 也可采用变参数法，即随迭代次数增加，利用经验公式使它们动态调整，本文采用固定值。

3.1求三维函数f=x(1).^2+x(2).^2+x(3).^2 的最小值
步骤：1.初始化x,v; 2.求出每个粒子的适应值；3.初始化pb,pg 个体最优和全局最优；4.根据式子更新x,v; 5.是否满足条件，满足跳出
w w w 2c 2c 0.421≤+=c c φ221==c c 221==c c w
循环，否则重复2-4步
尝试编码：
（1）pso.m 文件
%此算法是PSO算法，汪汪的20161024号版本
function[xm,fv]=PSO(fitness,N,c1,c2,w,M,D)
%{
xm,fv算法最后得到的最优解时的x及最优解，fitness为适应度，即要优化的目标函数，N为种群数量，c1,c2为学习因子，w为惯性权重，M为迭代次数，D为粒子的维数
%}
format long;
%初始化种群
for i=1:N
for j=1:D
x(i,j)=randn; %随机初始化位置
v(i,j)=randn; %随机初始化速度
end
end
%先计算各个粒子的适应度pi，并初始化y-粒子个体极值，pg-全局极值
for i=1:N
p(i)=fitness(x(i,:)); %适应度问题：将x(i,:)改成x(i,j)是否可以，答不能 y(i,:)=x(i,:); %个体极值
end
pg=x(N,:);%初始化全局极值/最优
for i=1:N-1
if fitness(x(i,:))<fitness(pg)
pg=x(i,:);%替换并选出全局极值
end
end
%进入粒子群算法主要循环，更新v及x
for t=1:M
for i=1:N
v(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand*(y(1,:)-x(1,:))+c2*rand*(pg-x(i,:)); x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);
if fitness(x(i,:))<p(i)
p(i)=fitness(x(i,:));
y(i,:)=x(i,:);
end
if p(i)<fitness(pg)
pg=y(i,:);
end
end
pbest(t)=fitness(pg);%M次迭代后最优解
end
xm=pg';%为何要共轭转置？
fv=fitness(pg);
（2）目标函数fitness.m文件
function f=fitness(x)
f=x(1).^2+x(2).^2+x(3).^2 ;
end
需要说明的是，针对不同的函数优化，只需要改变目标函数就可以。

（3）在命令行输入或建立调用m文件
在命令行先后输入[xm,fv] = PSO(@fitness,100,2,2,0.6,1000,3)，或建立包涵该语句的m文件，运行即可得到结果。

四、结果与分析
xm=1.0e-04 *
-0.285730140229565
0.676783696397148
-0.250529540096653
fv =
6.024429352056337e-09
fv是最优值，xm为最优值对应的自变量值。

3.2 高斯函数
[x y]=meshgrid(-100:100,-100:100); %生
成xy 坐标系且选取范围
sigma=50; %高斯函数中的sigma 为50
img = (1/(2*pi*sigma^2))*exp(-(x.^2+y.^2)/(2*si gma^2));
%目标函数，高斯函数
222b)(x ae (x)f c --= mesh(img); %
三维画图 hold on;。