罗尔定理是微分学中的一条重要定理，它被命名为法国数学家米歇尔·罗尔而得名。

该定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

这个定理的现代证明是基于中值定理（也被称为介值定理或零点定理）。

在这个定理的现代形式中，我们注意到的关键条件是在闭区间上[a,b]的连续性和在开区间(a,b)的可导性。

这两个条件保证了函数在区间内的变化是连续的，并在每一点都有切线。

第三个条件f(a)=f(b)则表明函数在两个端点的值是相等的，这意味着函数在整个区间上的变化是平滑的，没有跳跃。

这些条件一起保证了在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

这个定理的应用非常广泛，例如在微分方程、函数的不等式和积分等领域。