高等数学
一、填空 、选择题（每题3分，共30分）
1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D
yd σ=⎰⎰ .
3.若曲线L 是2
2
1x y +=在第一象限的部分,则L
xds =⎰
.
4.设(,)ln()2y
f x y x x
=+
,则(1,0)xx f = . 5.若级数
1
(2)n
n u
∞
=+∑收敛,则lim n n u →∞
= .
6.函数3
2
2
(,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2
2
(,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2
24x y +=顺时针一周,则
1
2
L xdy ydx -=⎰Ñ( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9.
累次积分1
(,)y
dy f x y dx ⎰
改变积分次序后等于( ).
(A) 2
1
0(,)x x dx f x y dy ⎰
⎰ ; (B)
21
(,)x
x
dx f x y dy ⎰
⎰;
(C)
1
(,)x
dx f x y dy ⎰ ;
(D)
21
(,)x dx f x y dy ⎰.
10. 下列各级数中条件收敛的是（ ）
(A)
1
1
(1)
n n ∞
+=-∑; (B) 1
2
11
(1)n n n ∞
+=-∑; (C)
1
1
(1)
1
n n n
n ∞
+=-+∑; (D) 1
1
1
(1)(1)
n n n n ∞
+=-+∑;
二解答题(6*4)
1.设函数22
ln()y x
z x y e =++,求(1,0)
dz
.
2.设sin ,,2u
z e v u xy v x y ===-,求
,z z x y
∂∂∂∂.
3.
设()xy
z f e y =,求
,z z x y
∂∂∂∂. 4. 设方程sin y z
e
x z e +-=所确定的隐函数),(y x z z =求
(0,1)(0,1)
,
z z x
y
∂∂∂∂.
三 计算题(5*5) 1.
求(2D
dxdy -⎰⎰，其中D 4:22≤+y x . 2.求
⎰⎰⎰Ω
zdv ，其中Ω是曲面2
2z x
y =+及平面1z =所围成的闭区域.
3.
求
∑
,其中∑为曲面2
2y x z +=在10≤≤z 之间的部分.
4. 计算曲面积分
⎰⎰
∑
zdxdy ，其中∑为曲面2
2y x z +=在10≤≤z 之间部分的下侧。

5.求
()()L
x y dx x y dy +--⎰Ñ,其中L 为沿2
22x
y +=顺时针方向一周.
四解答题(5+5+6) 1.判别级数
1
1
(1)3
n n n n
∞
-=-∑是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 2. 求幂级数
1
1
n n nx
∞
-=∑的收敛区间及和函数)(x s ,并求12
n
n n
∞
=∑
3. 将函数1
()f x x
=展成(x -2)的幂级数 五证明题(5)
设函数()f x 连续,证明: 21
1()()()()1
b
x
b n n a
a
a dx x y f y dy
b x f x dx n ---=
--⎰
⎰⎰ 参考答案
一 1.
122
211
x y z ---==
-. 2.0.[因为积分区域D 关于x 轴对称,被积函数y 是关于y 的奇函数] 3.1. 4.1
4
-. 5.-2. 6.B 7.选(A)或(B)都对. 8. (C)[利用格林公式,注意此题中
的方向是顺时针] 9. (B); 10. (A)
二 1. 因为22222221(),)y y
x x
z x y z y e e x x y x y x y x ∂∂=+-=+∂+∂+,则(1,0)
(1,0)
2,
1z z
x
y
∂∂==∂∂,所
以(1,0)
dz
2dx dy =+.
2. 由sin ,,2u
z e v u xy v x y ===-,得sin(2)xy
z e x y =-.于是
sin(2)cos(2),xy xy z
ye x y e x y x
∂=-+-∂. sin(2)2cos(2)xy xy z
xe x y e x y y
∂=---∂.
3.
xy z z u z v z ye x u x v x u ∂∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂
xy z z u z v z z xe y y u y v y u v
∂∂∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂∂. 4. 方程化为sin 0y z
e
x z e +--=,则(,,)sin y x F x y z e x z e +=--,
sin x F z =-,y z y F e +=,cos y z z F e x z +=-.且当0,1x y ==时,0z =所以
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
0,
1y x z
z
F F z z x
F y
F ∂∂=-
==-
=-∂∂.
三 1. 用极坐标计算
3
22
2
200
8(2(2)2()3
3
D
dxdy d d πρπ
θρρρπρ=-=-
=
⎰⎰⎰⎰. 2.用柱坐标计算
⎰⎰⎰Ω
zdv 2421
1
1
001223
d d zdz d π
ρρπ
θρρπρρ-===⎰⎰⎰⎰.
3.这是第一类曲面积分,先求
dS ===,
再明确∑在xOy 面上的投影区域2
2
:1xy D x y +≤.下面计算
∑
xy
D ==
⎰⎰3
21
1
3
3
d d π
ρθρρρ==
⎰
⎰. 4. 这是第二类曲面积分,先求明确∑在xOy 面上的投影区域2
2
:1xy D x y +≤.且∑取下侧,下面计算
zdxdy ∑
⎰⎰xy
D =-=⎰⎰3
21
10
00223
3
d d πρπθρρρπ
-=-=-
⎰⎰. 5.利用格林公式,注意方向是顺时针.
,P x y Q x y =+=-+;
1,1P Q y x
∂∂==-∂∂.
()()L
x y dx x y dy +--⎰Ñ(
)24xy
xy
D D Q P
dxdy dxdy x y π∂∂=--==∂∂⎰⎰⎰⎰. 四 1.先判别是否绝对收敛.
因为由比值法 11
1
113lim lim lim 1333n n n n n n
n n u n n u n +→∞→∞→∞-++===<,所以113n n n ∞-=∑收敛.
所以
1
1
(1)3
n n n n
∞
-=-∑绝对收敛. 2.
1
1
201
11
1
()()()1(1)x
n n n n n n x nx
nx dx x x x ∞
∞
∞
--==='''====--∑∑∑⎰,(-1,1). （注:其中收敛域为(-1,1)）111
()22
22n n n S ∞
===∑
3. 1111
()2(2)2212
f x x x x =
==
--++.下面用到公式: 21
1(1),(11)1n n x x x x x
=-+-+-+-<<+L L 于是221112(2)22()[1(1)(),(11)2222222
12
n n
x x x x f x x ----=
=-+-+-+-<<-+L L 即收敛域为04x <<. 五证明 交换积分次序
22()()()()b
x b b
n n a
a
a
y
dx x y f y dy dy x y f y dx ---=-⎰
⎰⎰⎰
1
11
111()()()()()()111
b b b n b n n y
a
a a x y f y dy
b y f y dy b x f x dx n n n ---=
-=
-=----⎰⎰⎰。