2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣22．在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（）A．3 B．6 C．7 D．83．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（）A．13 B． C． D．214．若a＜b＜0，则（）A．0＜＜1 B．ab＜b2C．＞D．＜5．在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（）A．16 B．6 C．4 D．87．等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（）A．B．6 C．D．38．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）A．60°B．120°C．120°或60°D．45°9．在等比数列{a n}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（）A．48 B．±48 C．96 D．±9610．不等式的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞3}B．{x|x＜﹣3或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}11．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有S16＜0，S17＞0，那么S n中最小的是（）A．S6B．S7C．S8D．S912．已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为=a n+2n，则数列的通项a n=．14．已知数列{a n}中，a1=1，a n+115．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为km．16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{b n}且b2=a4，b3=a8（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}前n项的和S n．18．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求不等式f（x）＜0的解集．20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？22．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=na n﹣n（n﹣1）．（1）求证：数列{a n}为等差数列，并分别求出a n的表达式；（2）设数列的前n项和为P n，求证：P n＜；（3）设C n=，T n=C1+C2+…+C n，试比较T n与的大小．2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣2【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据前几项的特点和规律，可知数列中符号是正负交替，而绝对值为3n﹣2．【解答】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n﹣2，故通项公式an+1（3n﹣2）．n=（﹣1）故选：C．2．在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（）A．3 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可得a4=4，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=8，∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，∴公差d==，∴a7=a1+6d=2+4=6故选：B．3．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（）A．13 B． C． D．21【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可得解c的值．【解答】解：∵a=1，b=4，C=60°，∴由余弦定理可得：c===．故选：B．4．若a＜b＜0，则（）A．0＜＜1 B．ab＜b2C．＞D．＜【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个式子的正误，可得答案．【解答】解：∵a＜b＜0，∴0＜＜1，正确；ab＜b2，错误；＜＜0，错误；0＜＜1＜，错误；故选：A．5．在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理即可解得b=c，从而得解．【解答】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b2=c2，∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（）A．16 B．6 C．4 D．8【考点】正弦定理．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，=absinC==8．∴S△ABC故选：D．7．等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（）A．B．6 C．D．3【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列与求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=45，则a8=3．故选：D．8．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）A．60°B．120°C．120°或60°D．45°【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围由特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵a=2，b=6，A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵B∈（0°，180°），∴B=120°或60°．故选：C．9．在等比数列{a n}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（）A．48 B．±48 C．96 D．±96【考点】等比数列的通项公式．【分析】先求出a2和a8，由此能求出a2和a8的等比中项．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，∴a2=3×2=6，=384，∴a2和a8的等比中项为=±48．故选：B．10．不等式的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞3}B．{x|x＜﹣3或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，由此求得x的范围．【解答】解：不等式，即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，求得x＞3，或x＜﹣2，故选：A．11．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有S16＜0，S17＞0，那么S n中最小的是（）A．S6B．S7C．S8D．S9【考点】等差数列的前n项和．【分析】由S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出．【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴公差d＞0．∴S n中最小的是S8．故选：C．12．已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]【考点】基本不等式．【分析】要使不等式x+y≥2m﹣1恒成立，只要求出x+y的最小值，得到关于m的不等式解之即可．【解答】解：x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．14．已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n+2n，则数列的通项a n=2n﹣1．+1【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．【分析】运用累加法求解：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1即可得到答案．=a n+2n，【解答】解：∵a1=1，a n+1∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=22，…=2n﹣1，a n﹣a n﹣1相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1，15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，则这时船与灯塔的距离为海里．故答案为．16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，令3﹣x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值．【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）令3﹣x=t，t∈（2，3），∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成立；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{b n}且b2=a4，b3=a8（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}前n项的和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列的性质可知：，求得首项及公差，根据等差数列通项公式即可求得数列{a n}的通项公式，即可求得a4，a8，根据等比数列性质求得首项及公比，即可求得数列{b n}的通项公式；（2）由（1）可知：采用分组求和，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{c n}前n项的和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由，可得，…解得：，∴由等差数列通项公式可知：a n=a1+（n﹣1）d=n，∴数列{a n}的通项公式a n=n，∴a4=4，a8=8设等比数列{b n}的公比为q，则，解得，∴；（2）∵…∴，=，=，∴数列{c n}前n项的和S n=．18．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及余弦定理可求cos∠BDA的值，结合角的范围即可得解．（2）由（1）及已知可求∠BDC=30°，利用正弦定理即可得解BC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…=…∴∠BDA=60°…（2）∵AD⊥CD，∴∠BDC=30°…在△ABC中，由正弦定理得，…∴．…19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求不等式f（x）＜0的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可．（2）对系数a进行讨论，根据一元二次不等式的解法求f（x）＜0的解集．【解答】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，解得：x≥1或x≤2．∴1≤x≤2．不等式的解集为{x|1≤x≤2}．（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0得x1=a，x2=2a当a=0时，x∈∅．当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB，结合B为锐角，即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=36，由a+c=8，解得ac的值，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，又∵B为锐角，∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=36，∵a+c=8，∴ac=，==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴S△ABC21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）分别算出房子的两个侧面积乘以20再加上房子的正面面积乘以40再加上屋顶和地面的造价即为总造价；（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进而得到答案．【解答】解：（1）…=…定义域是（0，7]…（2）∵，…当且仅当即x=6时取=…∴y≥80×12+1800=2760…答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…22．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=na n﹣n（n﹣1）．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并分别求出a n 的表达式；（2）设数列的前n 项和为P n ，求证：P n ＜；（3）设C n =，T n =C 1+C 2+…+C n ，试比较T n 与的大小． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由S n =na n ﹣n （n ﹣1），S n +1=（n +1）a n +1﹣（n +1）n ，两式相减整理得：a n +1﹣a n =2，{a n }是以首项为a 1=1，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得数列{a n }通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法，即可求得数列的前n 项和为P n ，P n =；（3），由“错位相减法”即可求得，利用作差法即可求得＞0，即可求得T n ＞． 【解答】解：（1）证明：∵S n =na n ﹣n （n ﹣1）∴S n +1=（n +1）a n +1﹣（n +1）n …∴a n +1=S n +1﹣S n =（n +1）a n +1﹣na n ﹣2n …∴na n +1﹣na n ﹣2n=0∴a n +1﹣a n =2，∴{a n }是以首项为a 1=1，公差为2的等差数列 …由等差数列的通项公式可知：a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，数列{a n }通项公式a n =2n ﹣1；…（2）证明：由（1）可得，…=… （3）∴，=，两式相减得…=，=，=，=，∴…∴…∵n∈N*，∴2n＞1，∴，∴…2016年12月3日。