大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分2221cos xdx ππ--⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分）1241(sin )x x x dx -+=⎰.3. （3分） 21lim sinx x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设xe y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程0cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7分）求函数1y x x =+-[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln xy +=，则='y.3． =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim. 4．曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程为 .5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 .6．=+⎰dx x x21arctan . 二、单项选择题（每小题4分，共20分）1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；() C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-；() C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）. () A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1．求极限：xx x 1sinlim 2→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '.3. 求函数xxy sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx xx 221. 5.⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、 （10分）已知2x e为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线xxe y -=的拐点及凹凸区间.六、 （10分）设()()C ex dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.)(x f y '=yO1x 2x ab x（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A)()0f x'. (B) ()0f x'-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A)(())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分 =x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分 arctan (1)xdxx x +.2arctan arctan 22(1) =2arctan 2 =2x x dx d x x x xd x x C =----------+------+---------⎰解：分分（）分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1ba f x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aabab ba axf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .xy2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x xr r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 212)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1xe x ≥+。