西南交通大学数值分析题库用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里(2)()1f x ∞≤）；如果知道(2)()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1()f x dx ⎰此实际值 大 (大，小)。

在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =∈⎰为内积的空间C[0,1]中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 23x3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y yy λ'=⎧⎨=⎩的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler 公式 11,1,,,k kk xy y h y kn hnλ -----------(5分) 1011kkky h y h y λλ------------------- (10分)()11(0)nnx n x y h e h n λλλ⎛⎫=+=+→→ ⎪⎝⎭若用复化梯形求积公式计算积分1x I e dx =⎰区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1．用Romberg 法计算积分 232x e dx -⎰解 []02()()2b aT f a f b -=+= 9.219524346410430E-003 10221()222b a a bT T f -+=+= 5.574989241319070E-00310022243T T S -== 4.360144206288616E-00322T = 4.499817148069681E-003 21122243T T S -== 4.141426*********E-0031002221615S S C -== 4.126845266588636E-00332T = 4.220146327817699E-00332222243T T S -== 4.126922721067038E-0032112221615S S C -== 4.125955805783515E-0031002226463C C R -== 4.125941687358037E-0032．用复合Simpson 公式计算积分232x e dx -⎰(n=5)解 44501()4()2()(),625k k h h b aS f a f a kh f a kh f b h ==⎡⎤-=++++++=⎢⎥⎣⎦∑∑5S =4.126352633630653 E-0033、 对于n+1个节点的插值求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰ 至少具有 n 次代数精度. 4、 插值型求积公式()()bnk k k af x dx A f x =≈∑⎰的求积系数之和0nk k A =∑=b-a 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎰=)(f 2880)a b ()4(5η--([a,b])因此对不超过3次的多项式f(x)有()()4()()022bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰即()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰精确成立,对任一4次的多项式f(x)有()()4()()22bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≠++⎢⎥⎣⎦⎰因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.6、 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式22()()(0)()f x dx Af a Bf Cf a -≈-++⎰有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型？ 解 由()1f x 得 4A B C 由()f x x 得 0aA aC由2()f x x 得 22163a A a C 由3()f x x 得 330a A a C由4()f x x 得 44645a Aa C可 得101612,,995A CB a 代数精度是5, 是Gauss 型积分公式7．1）设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求)(2x P2）构造如下的Gauss 型求积公式100110()()()xf x dx A f x A f x ≈+⎰解 (1) 0()1P x , 01000(,())2()()((),())3x P x P x xP x xP x P x 222012010011(,())(,())()()()((),())((),())x P x x P x P x xP x P x P x P x P x P x 123001(,())4x P x x dx ==⎰ 10001((),())2P x P x xdx ==⎰1211021((),())()336P x P x x x dx =-=⎰ 1231021(,())()330x P x x x dx =-=⎰ 22621()()532P x x x 263510x x(2) 2263()510P x x x 的两零点为016666,1010x x (即Gauss 点)1101010001109696,3636x x x x A xdx A x dx x x x x ---+====--⎰⎰ Gauss 型求积公式196669666()()()xf x dx f f --++≈+⎰ 8 用复合Simpson 公式计算：要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson 公式求此积分值。

解 复合Simpson 公式计算的误差为 =)f (R n 4(4)b-a ()2880h f η-，[a ，b]因此只要40.0052880n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ππ 即可.得 2.147n ,取3n32.0008632S9 试述何谓Gauss 型求积公式。

如下求积公式：是否是Gauss 型求积公式？Gauss 型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分区间上连续)解 把用[a ，b]上的n+1个节点（互不相同的）k x (k=0,1,…,n)而使数值求积公式∑==nk k k n )x (f A)f (Q的代数精确度达到2n+1，称为Gauss 型求积公式 求积公式⎰πsin xdx()()()()11141101333f x dx f f f -≈-++⎰()()()()11141101333fx dx f f f -≈-++⎰因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss 型求积公式。

G auss 型求积公式是稳定的，也是收敛的。

10． 试述何谓Gauss 型求积公式。

并证明： ⑴ Gauss 型求积公式()()()nbk k a k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰ 的系数0kA (这里()x ρ是权函数)⑵nk k A C ==∑ 其中C 是常数(要求写出C 的表达式)。

解 把用[a ，b]上的n+1个节点（互不相同的）k x (k=0,1,…,n)而使数值求积公式∑==nk k k n x f A f Q 0)()(的代数精确度达到2n+1，称为Gauss 型求积公式 (1)()()()nbk k a k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰是Gauss 型求积公式，因此如果()f x 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取201110111()()()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x -+-+⎛⎫-----= ⎪-----⎝⎭则 0()()ba x f x dx ρ<=⎰ 0()nk k i k A f x A ==∑ (2)()()()nbk k a k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰是Gauss 型求积公式，因此代数精确度达到2n+1, 因此如果()f x 是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 ()1f x ≡得(),()nbbk aa k A x dx C Cx dx ρρ===∑⎰⎰ 11． 证明：（1）Newton-Cotes 系数)(n kc满足如下等式：()1nn kk c ==∑(2）设n T ，2n T 分别表示把区间[a,b] n,2n 等分后复化梯形公式计算积分⎰badx x f )(，n S 表示把区间[a,b] n 等分后复化Simpson 公式计算积分⎰badx x f )(。

证明下式成立：342nn n T T S -=证明 (1) 因为 Newton-Cotes 求积公式为()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰，其中01110111()()()()()()()()()()bk k n k ak k k k k k k n x x x x x x x x x x A dx x x x x x x x x x x -+-+-----=-----⎰而Newton-Cotes 系数)(n kc满足 ()n k kA C b a因nk k A b a ==-∑，故()01nn k k c ==∑.(2) 因 ()11121()4()2()()62n n n k k k h h S f a f a f a kh f b -==-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦∑∑b ahn又因 11()2()()2n n k h T f a f a kh f b -=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑2121/2()2()()22n n k h hT f a f a k f b -=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑()11121()2()2()()42n nk k k h h f a f a kh f a f b -==-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦∑∑ 整理即可得 342nn n T T S -=12、若用复化梯形求积公式计算积分1xI e dx =⎰ 区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。