第8课时 方差与标准差
【学习目标】
1．通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； 2．学会计算数据的方差、标准差；
3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 【问题情境】
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：
2/mm kg ），通过
计算发现，两个样本的平均数均为125．
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙
115
100
125
130
115
125
125
145
125
145
哪种钢筋的质量较好？
【合作探究】
将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如下图所示．
由图可以看出，乙样本的最小值 ，低于甲样本的最小值 ，最大值 高于甲样本的最大值 ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．
我们把一组数据的 称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．那又该如何刻画抗拉强度的稳定性呢？
【知识建构】
1．设一组样本数据12,,,n x x x L ，其平均数为x ，
则方差2s ＝___________________________________________=________________； 标准差s ＝____________________________________________=________________． 2．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 【展示点拨】
例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：2
/hm t ）如下，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．
例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
例3．⑴若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本x 1+2，x 2+2，……，
x n +2的平均数为_________；方差为__________；
⑵若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本5x 1，5x 2，……，5x n
的平均数为_________；方差为__________；
⑶若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为10，方差为2，则样本5x 1+6，5x 2+6，……，5x n +6的平均数为_________；方差为__________； 【学以致用】
1．已知一个样本为8，14，12，18，那么样本的方差是______ _；标准差是_ ．
2．若821k k k ，，
， 的方差是3，则)3(2)3(2)3(2821 k k k ，，， 的方差是 ．
3．设一组数据的方差是2s ，将这组数据的每个数据都乘以10，所得的一组新数据的方差是 ．
4．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：
5．两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：
（1）哪台机床的次品数的平均数较小？
（2）哪台机床生产状况比较稳定？
第8课时方差与标准差
【基础训练】
1．以下4个说法：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有量纲的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍．其中正确的是________．
2．(2020年常州调研)已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝________.
3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
4．(2020年高考山东卷改编)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．5．样本x1，x2，x3，…，x10的平均数为5，方差为7，则3(x1－1)，3(x2－1)，…，3(x10－1)的平均数、方差、标准差分别是________、________、________．6．某人5次上班途中花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
7．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
8．若样本x1＋1，x2＋1，…，x n＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x1＋2，x2＋2，…，
x n＋2的平均数为________，方差为________．
9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模
群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是________．
①甲地：总体均值为3，中位数为4；②乙地：总体均值为1，总体方差大于0；
③丙地：中位数为2，众数为3；④丁地：总体均值为2，总体方差为3．
【思考应用】
10．某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数情况如下表：
11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：
(1)
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)的平均数和标准差，并判断选谁参加比赛更合适？
【拓展提升】
12．为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的50名男生进行了身高测量，结果
如下(单位：cm)：
175 168 170 176 167 181 162 173 171 177 179 172 165 157 172 173 166 177 169 181 160 163 166 177 175 174 173 174 171 171 158 170 165 175 165 174 169 163 166 166 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167
(1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图； (2)计算样本平均数和标准差；
(3)由样本数据估计总体中有多少数据落在区间(x －s ，x ＋s)内？
第8课时 方差与标准差答案
1．①④ 2．96 3．2
5 4．92,2.8 5．12 63 37 6．4 7．丙 8．11 2 9．④
10．解：设第一组20名学生的成绩为x 1，x 2，x 3，…，x 20，
第二组20名学生的成绩为x 21，x 22，…， x 40.根据题意得 90＝x 1＋x 2＋…＋x 2020，80＝x 21＋x 22＋…＋x 40
20，
x ＝
x 1＋x 2＋…＋x 4040＝90×20＋80×20
40
＝85，
第一组的方差s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220)－902
，①
第二组的方差s 22＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240)－802
，②
由①＋②得
36＋16＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220＋x 221＋…＋x 240)－(902＋802
)，∴x 2
1＋x 2
2＋…＋x 2
4040
＝
7276.
s 2
＝x 2
1＋x 2
2＋…＋x 2
4040
－852
＝7276－7225＝51，∴s ＝51.
11．解：(1)画出茎叶图如下图所示.
甲
乙
7
8 7 5 1 0
2
3
8 9
3 4 6 8
乙的中位数是33.5，甲的中位数是33，因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．
(2)用科学计算器求得x甲＝33，x乙＝33，s甲＝3.96，s乙＝3.56，故s甲＞s乙．
综合比较，选乙参加比赛较为合适．
12．解：(1)频率分布表如下：
分组频数频率
[156.5,161.5) 4 0.08
[161.5,166.5) 11 0.22
[166.5,171.5) 11 0.22
[171.5,176.5) 18 0.36
[176.5,181.5] 6 0.12
合计50 1.00
频率分布直方图如上图所示．
(2)由计算器可得到平均数x＝170.1 cm，标准差s≈5.6 cm.
(3)因为x＝170.1，s≈5.6，所以区间(x－s，x＋s)为(164.5,175.7)．又因为样本中落在区间(164.5,175.7)内的数据有36个，所以样本数据中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内，因此估计总体中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内．。