数列求和的方法教学目标1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 教学内容知识梳理1．求数列的前n 项和的方法(1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝()21n a a n +＝na 1＋()d n n 21-. ②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝()qq a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.123+++……+n=(1)2n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. 常见的裂项公式(1)()11+n n ＝1n －1n ＋1； (2)()k n n +1＝1k (1n －1n ＋k )； (3)()()12121+-n n ＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)()()211++n n n ＝12()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+21111n n n n ； (5)1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )． (6)设等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)． 数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016·新课标全国Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.2.(2013·新课标全国Ⅰ，17)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.变式训练1.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .2.(2014·福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二 错位相减法1.(山东)已知数列 的前n 项和S n =3n 2+8n ，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）令 求数列的前n 项和T n .2.(2015·天津，18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ⅠN *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ⅠN *，求数列{b n }的前n 项和.变式训练1.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ⅠN *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； {}n a {}n b 1.n n n a b b +=+{}n b 1(1).(2)n n n n n a c b ++=+{}n c(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .2.(2014·四川，19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ⅠN *).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .3.(2015·湖北，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .4．(2015·山东，18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .5.(2015.浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ⅠN *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ⅠN *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .6.(2015·湖南，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ⅠN *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ；(2)求S n .考点三 分组求和法1.(2015·福建，17)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝22 n a ＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值.2.(2014·湖南，16)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ⅠN *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a 2＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.变式训练1.(2014·北京，15)已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.考点四裂项相消法1.(2015·新课标全国Ⅰ，17)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和．2.(2011·新课标全国，17)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．3.(2015·安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .变式训练1.(2013·江西，16)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1（n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2.(2013·大纲全国，17)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .3.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .考点五 倒序相加法已知函数f (x )＝14x ＋2(x ⅠR )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.变式训练1.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.考点六 并项求和1.(2012·新课标，16)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________.2.(2014·山东，19)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝()21+n n a ，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .变式训练1.(2014·山东理，19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .2.(2013·湖南，15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ⅠN *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.考点七 数列{|a n |}的前n 项和问题1.(2011·北京，11)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________． 变式训练1.(2013·浙江，19)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列.(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.考点八 周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．0变式训练1.(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A.1 006 B.2 012 C.503 D.0考点九 数列与不等式的应用1．(2014·新课标全国Ⅰ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.2.(2015·浙江，20)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ⅠN *)． (1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ⅠN *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ⅠN *)．3.(2013·江西，理)正项数列{a n }的前项和{a n }满足：222(1)()0n n s n n s n n -+--+=（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令221(2)n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为n T 。