二次函数与圆
1.如图，已知抛物线y = ax 2
+ bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、
C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴
交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线
2
16
y x bx c =
++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线2
16y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，
求PQ ＋PB 的最小值．
（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
3.如图（13），已知平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标是(016)，
，AB 平行于x 轴，B C D ，，三点在抛物线2
425
y x =
上，DC 交y 轴于N 点，一条直线OE 与AB 交于E 点，C A M
x
y
O
D E
与DC 交于F 点，如果E 点的横坐标为a ，四边形ADFE 的面积为
135
2
． （1）求出B D ，两点的坐标；（2）求a 的值；
（3）作ADN △的内切圆P ，切点分别为M K H ，，，求tan PFM ∠的值．
4
、（湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线233
y x x =-
-x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．
（1）求抛物线的顶点E 的坐标；（2）求
M 的面积；
（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与M 相切，并请说明理由．
5
、（辽宁卷）如图，已知(10)(0A E -，，，，以点A 为圆心，以AO 长为半径的圆交x 轴于另一点B ，过点B 作BF AE ∥交A 于点F ，直线FE 交x 轴于点C ．
（1）求证：直线FC 是A 的切线；
（2）求点C 的坐标及直线FC 的解析式；
（3）有一个半径与A 的半径相等，且圆心在x 轴上运动的P ．若P 与直线FC 相交于M N ，两点，是否存在这样的点P ，使PMN △是直角三角形．若存在，求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
6
3
于点A ，点B ．
图（13）
（1）以AB 为一边在第一象限内作等边ABC △及ABC △的外接圆M （用尺规作图，
不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若M 与x 轴的另一个交点为点D ，求A ，B ，C ，D 四点的坐标；
（3）求经过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式，
并判断在抛物线上是否存在点P ，使ADP △的面积等于ADC △的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ．
7、（山东滨州卷）已知：抛物线2
:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于
12(0)(0)A x B x ，，，两点，且12x x <．（Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；（Ⅱ）若121
1x x <>，，求m 的取值范围； （Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，，若存在，求出
m 的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使
1
2
PF FQ =，求直线l 的解析式． 8、（四川课改卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点(220)B -，，(0)A m ，(20)m -<<，
以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点
D 以外的另一个交点，连结B
E 与AD 相交于点
F ． （1）求证：BF DO =；
（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的
外心，试求经过B
F O ，，三点的抛物线的解析表达式； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？
若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．
A
E
O D
C
B
G
F y
l Q
9、（浙江卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1经过点A (-2，0)和点B (0
，直线l 2
的函数表达式为y x =l 1与l 2相交于点P ．⊙C 是一个动圆，圆心C 在直线l 1上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM ⊥x 轴，垂足是点M ．
(1) 填空：直线l 1的函数表达式是 ，交点P 的坐标是 ，∠FPB 的度数是 ； (2) 当⊙C 和直线l 2相切时，请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R ，并写出
R =223-时a 的值.
(3) 当⊙C 和直线l 2不相离时，已知⊙C 的半径R =223-，记四边形NMOB 的面积
为S (其中点N 是直线CM 与l 2的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最
大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．
10、（山东济南课改卷）如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作
AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．
（1）求PA 的长；
（2）以点A 为圆心，AP 为半径作A ，试判断BE 与A 是否相切，并说明理由； （3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作A ；以点C 为圆心，R 为半径作C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A 和C 相切．．
，且使D 点在A 的内部，B 点在A 的外部，求r 和R 的变化范围．
C
A Ｄ图1 图2
11、（江苏宿迁课改卷）设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．，点A 、O 间距离为d ． （1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：
d 、a 、r 之间关系
公共点的个数
d ＞a ＋r d ＝a ＋r a －r ＜d ＜a ＋r d ＝a －r
d ＜a －r
所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有 个； （2）如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：
d 、a 、r 之间关系
公共点的个数
d ＞a ＋r d ＝a ＋r a ≤d ＜a ＋r
d ＜a
所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有 个；
（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝5
4a ；
（4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有
个”的形式，至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．
43、（山东枣庄课改卷）半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 : 3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O
（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （2）当点P 运动AB 到的中点时，求CQ 的长；
（3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．
l
A
O
图① l
A
O
图②
图③
O
A l。