A点的旋转齐次变换为 ������′������ ������������������������ ������′������ = ������������������������ 0 ������′������ 0 1 −������������������������ ������������������������ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ������������ ������ ������ ������������ 1
3、机器人运动学的数学基础
齐次坐标下的平移变换
空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它平移至A点，坐标为(X为
������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ = ������ ������ + ∆������ ������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ 1 0 ������′������ = 0 1 0 0 ������′������ 0 0 1 0 ∆������ 0 ∆������ 1 ∆������ 0 1 ������������ ������ ������ ������������ 1
机器人的姿态：
①机械手的最前端的姿态，可以用三个旋转的角度来表现 ②姿态的表示常使用欧拉角或横滚角、俯仰角、偏转角
欧拉角（Z-Y-X）
欧拉角是每次沿着运动坐标系的各轴旋转而不是绕固定坐标系的 各轴旋转，这样三个一组的旋转被称作欧拉角。注意：每次旋转所 绕的轴的方向取决于上次旋转后的结果。
横滚角、俯仰角、偏转角
注意：矩阵相乘不具备可交换性，应注意变换顺序
ri = pij + Rij rj
3、机器人运动学的数学基础
3)齐次坐标下的联合变换
齐次坐标变换总结： 齐次坐标值之间的变换就称为齐次坐标变换，齐次坐标变换的引入是为 了更直观的描述直角坐标系中的联合变换。
若坐标系{j}是由坐标系{i}先沿矢量pij=pxi+pyj+pzk平移，再绕zi轴旋转θ角得到的，则空间 任一点p在坐标系{i}和坐标系{j}中的矢量ri和rj和对应的变换矩阵pij和Rij之间就有 ri=pij+Rijrj，写成矩阵形式为
������′������ = ������������ ������������������������ − ������ ������ ������������������������ ������′������ = ������������ ������������������������ + ������ ������ ������������������������ ������′������ = ������������ 其矩阵表示为 ������′������ ������������������������ ������′������ = ������������������������ 0 ������′������ 其简化描述： −������������������������ ������������������������ 0 0 ������������ 0 ������ ������ 1 ������������
机器人技术基础
----机器人运动学的数学基础
中国海洋大学工程学院 张 磊

机器人怎样运动？
机器人运动学：是在不考虑力和质量等因素的影响下运用几何学的方法来研 究机器人的运动。 机器人运动学主要包括位姿、速度和加速度分析。 末端执行器end-effector 位置、速度、加速度 机器人结构 机器人的自由度 机器人的工作空间 坐标系的设定 坐标变换
3、机器人运动学的数学基础
3.1坐标变换
1、旋转变换 设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，但两者的姿态不同，这坐标系{j}就可以看成是 由坐标系{i}旋转变换而来的。 旋转变换： a.绕坐标轴的旋转变换； b.绕过原点的任意轴旋转变换。
1、旋转变换
点在坐标系中绕坐标轴的旋转变换
空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转θ角后至A点，坐标 为(X’A，Y’A，Z’A)。A点和A点的坐标关系为
vers 1 cos
绕任意轴旋转变换算子描述： ������������ ������ ������������������(������, ������) = ������ ������������ 0 ������������ ������������ ������������ 0 ������������ ������������ ������������ 0 0 0 0 1
v：cosa = 0.866，cosβ = 0，cosγ = 0.5 0 0.5 0]T
v = [0.866 矢量
w：cosa = 0.866，cosβ = 0.5，cosγ = 0
w = [0.866 0.5 0 0]T
3、机器人运动学的数学基础
2)齐次变换及运算
齐次坐标下的旋转变换
空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转θ角后至A点，坐标 为(XA，YA，ZA)。A点和A点的坐标关系为
姿态角表示方法RPY 横滚角rool、 俯仰角pitch、 偏转角yaw
这三个角都是绕着固定参考坐标系的角旋转。这个固 定是指每次的旋转都是在固定即不运动的参考坐标系 中确定的
机器人手臂的位置和姿态由合计6个变量所决定。要达到机械臂的位置 和姿态最少要提供6个自由度
3、机器人运动学的数学基础
3.1坐标变换
1 ������������������������������(∆������, ∆������, ∆������) = 0 0 0 其简化描述
平移变换算子
0 1 0 0
0 ∆������ 0 ∆������ 1 ∆������ 0 1
3、机器人运动学的数学基础
3)齐次坐标下的联合变换
联合变换 联合变换是将平移变换与旋转变换组合在同一次变 换中，如图所示 设坐标系{i}和坐标系{j}之间存在一个平移变换和一 个旋转变换，其对应的变换矩阵分别为Pij和Rij，则 空间任一点p在坐标系{i}和坐标系{j}中的矢量ri和rj 之间有以下关系 直角坐标系中的坐标联合变换方程
������′ = ������������ ������
2、平移变换
点在坐标系中的平移变换
空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它平移至A点，坐标为 ������′ (������′������ , ������′������ , ������′������ ) 。A点和A点的坐标关系为
机器人运动学就是要建立各运动杆件关节的运动与机器人手 部空间的位置、姿态之间的关系，从而为机器人的运动控制 提供分析的手段和方法。

机器人运动学
重点内容： 机器人位姿的定义和描述、齐次坐标在机器人分析中的应用、 齐次变换方法，机器人的位姿分析，机器人运动学的基本知识， 机器人的运动学方程，运动学的正向与逆向解，机器人的微分 运动与速度，雅可比矩阵 章节划分： 0、姿态描述（欧拉角和横滚、俯仰、偏航角） 1、齐次坐标 2、齐次变换与运算 3、串联机器人坐标系 4、串联机器人运动学方程 5、微分运动与速度 6、雅可比矩阵
其矩阵表示为 ������′������ ������������������������ ������′������ = ������������������������ 0 ������′������ −������������������������ ������������������������ 0 0 ������������ 0 ������ ������ 1 ������������

机器人的位姿描述
机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有 时也会用到其他各个活动杆件在空间的位置和姿态。机器人 位姿是建立在机器人坐标系之上的描述形式，有了位姿，机 器人手部和各个活动杆件相对于其他坐标系的位置和姿态就 可以用一个3×1的位置矩阵和一个3×3的姿态矩阵来描述。
AP = [P
X
PY PZ]T
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������������ A������ = ������ ������ ������������
可以看出，以机器人手臂为例，同样一 个手部前端执行器的位置不能够唯一确 定机器人的状态，同时具备多个姿势与 该位置对应，所以要描述机器人需要由 位置和姿态同时确定。
������′������ = ������������ + ∆������ ������′������ = ������ ������ + ∆������ ������′������ = ������������ + ∆������
其矩阵表示为 ������′������ 1 0 0 ∆������ ������������ ������′������ = 0 1 0 ∆������ ������ ������ 0 0 1 ∆������ ������������ ������′������ 其简化描述： ������′ = ������������������������ ������
则：所示的矢量u的方向用41 列阵可表达为： u = [a b c 0]T a = cosα，b = cosβ， c = cosγ 则：矢量u的起点O为坐标原点可表 达为： O = [0 0 0 1]T
例
用齐次坐标表示图中所示的矢量u、v、w的坐标方向
矢量 u = [0 矢量
u：cosa = 0，cosβ = 0.866，cosγ = 0.5 0.866 0.5 0]T