两角和与差的正弦、余弦和正切公式《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝_____________________________________________，cos(α－β)＝_____________________________________________.(2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_____________________________________________.(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)tan(α＋β)＝_____________________________________________，tan(α－β)＝_____________________________________________.其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝ba，角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）．【基础自测】1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ()A.12 B.33 C.22 D.322．已知cos⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ()A．－235 B.235C．－45 D.453．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 ()A.π2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ()A.⎝⎛⎭⎫π3，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，πC.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，3π25．已知向量ar＝(sin x，cos x)，向量br＝(1，3)，则|ar＋br|的最大值为()A．1 B. 3 C．3 D．9【考点巩固】探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移 已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点3 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例3已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．【课后自主检测】1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35D.452．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.233．已知向量a r ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b r ＝(4,4cos α－3)，若a r ⊥b r，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3等于 A ．－34 B ．－14 C.34 D.144．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A.π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23π 6．设sin α＝35 ⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________. 7．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．8． (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．9.（2013广东高考16题）已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(1) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．10．设函数f (x )＝a r ·b r ，其中向量a r ＝(2cos x,1)，b r＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R . (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》答案【基础自测】1．A 2.C 3.B 4.C 5.C例1 解 (1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧． 解 cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35， ∵0<β<π4<α<3π4，∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45， cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝35×⎝⎛⎭⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665.变式迁移2 解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．解 (1)∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝⎛⎭⎫122＝45.(2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35.又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210.∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－2，得β＝3π) 变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.①又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π.② 由①②，知A ＋B ＝7π4.【课后自主检测】参考答案1．D 2.D 3.B 4.A 5.A6.－2117.3 －23π8．解 (1)∵β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513， ∴sin β＝1213.…………………………………………………………………………(2分)又∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫33652＝－5665，…………………………………………………………(4分) ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝3365·⎝⎛⎭⎫－513－⎝⎛⎭⎫－5665·1213＝35.…………………………………………………………(6分) (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]收集于网络，如有侵权请联系管理员删除＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分) ∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)9. 解 (1)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2) 22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.10．解 (1)依题设得f (x )＝a r ·b r=2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32.………………………………………………………(3分) ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.…………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z )，得函数单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z )………………………………(10分) 列表：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12……………………(14分)。