欧拉公式及其应用
欧拉著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法
国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
练习
1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系．
（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V 和面数F又有怎样的关系？
F=V- 2
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
F=12 E=30
小结
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
欧拉公式
V+F-E=2
空间问题平面化
猜想
证 明
作业 P68 阅读材料
应用
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1）
顶点数V 4
（2）
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
6
（4）
20
（3）
面数F 4 6 8 12
规律：V+F-E=2
(4) 棱数E
6 12 12 30
讨论
问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 个．
问题3:欧拉公式的应用
例2、有没有棱数是7 的简单多面体？
解：假设有一个简单多面体的棱数E=7． 根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形： V=4，F=5 或 V=5，F=4．
但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点．所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y
个由．题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E=
1 2
（3×60）
问题3:欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y 个由．题根意据有欧顶拉点公数式V=，60可，得面数6=0x++（y，x+棱y)数－E12=（12 （3×3×606）0）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
12（5x+6y)=
1（3×60）
2
由以上两个方程可解出 x=12,y=20
图形编号 （5） （6） （7）
(6)
顶点数V 5 7 12
面数F 5 8 12
(7)
棱数E 8 12 24
多面体
简单多面体
表面经过连续变形能变成一个球面 的多面体
简单多面体 V+F-E=2 欧拉公式
欧拉示性数：
在欧拉公式中令 f(p)VFE，叫欧拉示性数
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
∴所有面的内角和=（E－F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它 内部的全体多边形的内角总和是多少？