我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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针对问题一，利用Matlab作出各重金属浓度空间分布图，可看出重金属浓度大多呈高浓度向外逐步扩散现象。

同时，利用单因素污染指数公式及污染等级规则，通过模糊综合评价模型，得出各类区域重金属污染程度如下：针对问题二，利用SPSS软件对各重金属变量进行R型聚类分析，将重金属污染分为四类：Cr、Ni、Cu为一类，Cd、Pb、Zn为一类，而As、Hg各为一类。

并计算出各区域各单金属污染指数进行对照分析，说明该城区重金属污染主要来源于工业活动及其生产品和交通主干道污染。

针对问题三，我们根据重金属物质在土壤中扩散的特点，利用有衰减的扩散模型，构造出浓度与坐标的关系，并利用matlab编程，多次试验，合理筛选数据，通过回归分析的方法，求解参数，从而得到不同重金属的不同污染源。

针对问题四，由于问题三求解的局限性，我们在模型三的基础上，增加了时间、水文、人类活动等因素，得出一个更为具体并符合实际的模型。

有利于计算土壤中重金属的浓度。

关键词单因素污染指数模糊综合评价 R型聚类分析有衰减的扩散模型扩散规律一、问题重述随着城市经济快速发展和城市人口不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及展开城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查，将城区划分为间距为1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

现根据采样点的位置、海拔高度及其所属功能区，以及其8种主要重金属元素在采样点处的浓度和背景值等信息，建立数学模型，解决以下问题：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析所建立模型的优缺点，并收集更多信息，建立数学模型，以更好地研究城市地质环境的演变模式。

二、问题分析对于问题一，可通过Matlab画图函数分别直观描述出该城区各类重金属的空间分布图，包括各采样点的平面位置、海拔以及其浓度分布，并大致观测各类区重金属浓度的变化。

同时，对该城区内不同区域重金属的污染程度进行分析，首先需引入单因素污染指数及其计算公式，并给出重金属元素的污染等级评判标准。

基于此，本文建立因素集和评价集，以简单模糊统计方法构造隶属函数，并在各重金属元素本身对土壤地质的作用是一样的假设下，即不考虑各重金属本身的毒性，通过模糊综合评价模型对该城区各区域的各类重金属总污染程度进行综合评定。

对于问题二，需对数据进行分析，来说明重金属污染的主要原因。

考虑到重金属种类有8种，比较多，可通过R型聚类分析对相关性较高的重金属元素聚分成几类，基于此法，可大致判断出哪几类重金属元素很可能源于同一性质或同一类污染物或者相似人为性活动，同时计算出各区域各重金属的污染指数和污染等级，由此进行对照分析，综合推测出该城区重金属污染的主要原因。

对于问题三，考虑到土壤中重金属的传播特征与分子运动扩散性质很相似，即一般以污染源为起点向周围辐射状传播，并且浓度逐渐地衰减，传播方向是从高浓度到低浓度。

针对这些传播特点，建立衰减扩散偏微分方程。

首先根据问题一所做的图进行初步判断，观察高浓度的大约范围，由此选择数据。

然后利用有衰减的扩散数学模型，和回归分析，由此进行参数估计，得到污染源的坐标。

对于问题四，我们考虑到问题三所建立的有衰减的扩散数学模型具有一定的局限性，因此在问题三的基础上，研究考虑更多能够影响土壤重金属浓度的因素，并将其加入问题三的问题中，由此得到一个更全面的新模型。

三、模型假设（1）问题一中，各重金属元素本身对土壤地质的作用是一样的，即综合模糊评价模型中的各重金属元素所占的权重一样。

（2）问题三中，土壤中重金属的传播服从扩散定律，并不考虑其它大气或水流等因素的影响。

（3）问题三中，假设重金属在水平方向上的扩散速度是一样的，土壤表面顺滑，不存在重金属物在非污染源处堆积现象。

四、符号说明五、模型的建立与求解5.1 问题一的求解5.1.1 各金属元素空间分布利用matlab 软件，以x 表示横坐标，y 表示纵坐标，z 表示平面上点(x,y)对应的海拔高度，利用色卡，其蓝色至红色渐变表示重金属浓度由低到高变化，得到如下图（其余见附录）；图5.1.1-1：As 空间分布图由以各分布图可直观看出，各类金属在空间分布上大多呈现出局部集中的现象，浓度较高，再从四周逐步扩散，浓度逐渐降低。

5.1.2 模糊综合评价模型的建立针对问题一，可引入单因素污染指数，作为评价各类重金属污染程度的标准。

因此，若评价一个区域的污染程度，可进行单因素污染指数的评价，再次对该区域的各类重金属进行综合评价。

单因素污染指数的计算公式如下：i p =iis c ，i =1,2,3…,8 其中，i p 是第i 类重金属污染指数，i c 是第i 类重金属的实际浓度，i s 是第i 类金属的背景浓度值。

结合参考文献]1[，得到各类重金属污染的等级判定规则，如表5.1.2-1：该城区各区域的污染程度分析主要依据其各类重金属元素浓度高低，因此可用模糊数学模型中的模糊综合评价法对重金属浓度进行综合评价。

其中，重金属的污染指数构成因素集U 。

并记为：{=U 0u ，1u ，2u ，3u ，4u ，5u ，6u ，7u }评价集中含有四个元素，分别为非污染，轻度污染，中度污染和重度污染，并记为：{=V 0v ，1v ，2v ，3v }即各因素集和评价集元素表示如表5.1.2-2：5.1.3模糊综合评价模型的求解由于题设要求对五个区域进行污染程度评价，因此以1类区（生活区）为例，进行模糊评价。

（1） 计算各重金属污染指数，作第一次定量。

数据处理如表5.1.2-3：（2） 用模糊统计方法构造隶属函数，同时构造模糊评判矩阵A 。

隶属函数即为：ij a =nu ij ，j i , =1,2,3,4,5,6,7,8得：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44132231154452232219116223022322194474111211344132291121142211114454431111447441344174474431134424111A （3） 确定权向量e ，作第二次量化并求解D设每种金属对土地污染程度的作用是相同的，并保证归一化，取权向量为：E={1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8}令D=EA,得：D ={0.14，0.52，0.27,0.18}（4） 取值，得出评价结果。

取α=0.8，1β=0.8，2β=0.9，3β=0.75. 则1d =0.14<α,1d +2d ×1β=0.556<α, 1d +2d ×1β+3d ×2β=0.82>α,因此，1类区（生活区）属于中度污染区。

以同样的方法，可求出其余四个区域的重金属污染程度，结果如表5.1.2-4：5.1.4 结果分析由表5.1.2-4可知，2类区（工业区）与4类区（主干道路区）的重金属污染程度属重度污染，该城区应加强对其重金属污染进行重点控制；其次，1类区（生活区）与5类区（公园绿地区）属中度污染，可见人们生活环境及城市绿化水平正趋于严重化；而3类区（山区）属轻度污染，需做好防范措施防止其进一步恶化。

5.2 问题二的求解5.2.1 R 型聚类模型的建立与求解 R 型聚类分析模型主要通过研究指标变量间的相似关系将其聚合成若干类，进而找出影响系统的主要因素。

基于此模型，针对该城区，分析各重金属间的相关系数，从而推断出重金属污染的具体主要因素。

（1）对数据进行标准化处理记重金属样本矩阵为n m ij x X ⨯=)(，-j x ,j S 分别为第j 类重金属的均值和标准差，有：jjij ij S x x x --=~（2）确定相关性度量记各重金属浓度j x T nj j j x x x ),,,(21 ，j =1,2,…,m 。

则以两重金属浓度j x 与k x 的样本相关系数作为其相似性度量为：2/11121])()([))((∑∑∑==--=------=n i ni k ikj iij ni k ik j ijjk x xx x x x x xr ，因此，可得到各重金属两两相关系数矩阵A 。

（3）对各重金属浓度进行相关性显著检验 在进行聚类分析之前，运用SPSS 软件，对各重金属浓度进行Pearson 相关性显著检验，得到表5.2-1：由上表可知，在显著水平 =0.01上，各重金属间浓度显著相关，即可利用Pearson 相关性度量标准来进行聚类分析。

初步判断，Cr和Ni、Pb和Cd的相关系数分别为0.717和0.665，相关性比较大，很有可能来源于同一污染物或同一污染性活动。