工程数学
一. (10分)填空题
1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,00
2
x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2.为使定解问题
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=======0
,000
02t l
x x x xx
t u u u u u a u （0u 为常数）
中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x
u 0
3.方程0=xy
u 的通解为)()(),(y G x F y x u +=
4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.
5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6
1),(22
3-++=
y x y x y x u
二. (10分)判断方程
02=+yy xx u y u
的类型，并化成标准形式．
解：因为)0(02≠<-=∆y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。

……2分
它的特征方程是 022
=+⎪⎭
⎫
⎝⎛y dx dy ……5分
即iy dx
dy
±=
特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-
作变换：⎩⎨⎧==x y
ηξln ……7分
求偏导数
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧-====)(1
1
2ξξξξ
ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x
将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式
ξηηξξu u u =+ ……10分
三. (10分)求解初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020
解：x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ
利用达朗贝尔公式
⎰+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分
得
)]
2sin()2[sin(4
1
4cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t
x t
x --+-+=+-++=⎰+-ξ
ξ
t x t x 2sin cos 2
1
422++= ……10分
四. (15分)用分离变量法解定解问题
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧====><<=====.
0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解 先求满足方程和边界条件的解.设解为
)()(),(t T x X t x u = ……2分
代入方程得
)()()()(2t T x X a t T x X ''=''
除以)()(2t T x X a 有
λ-=''='')
()
()()(2t T a t T x X x X 得到两个常微分方程
0)()(=+''x X x X λ ……3分
0)()(2=+''t T a t T λ ……4分
由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X
由0)(≠t T ，得0)(,0)0(='='l X X ……5分
于是固有值问题为
⎩⎨
⎧='='=+''0)(,
0)0(,0)()(l X X x x X λ
解之得一系列固有值
Λ,2,1,0,)(
2
===n l
n n πλλ 相应的固有函数为
x l
n x X n π
cos
)(= ……8分 再解方程 0)()()(2
=+''t T l
a n t T π，通解为
t l
a
n D t l a n C t T n n n ππsin cos )(+= ……10分 利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解
∑∞
=+=1cos )sin cos
(),(n n n x l
n t l a n D t l a n C t x u π
ππ ……12分
由初始条件0|0==t t u ，得0=n D ， ……13分。