1. 基本方法
曲面积分
第一类(
第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负Hale Waihona Puke 有向投影(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
A
4
思考题
1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 : z 0 , (x, y) D ,问下列等式是否成立?
A
1
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
P x
Q y
R z
d
xd
yd
z
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0 P Q R 0 x y z
(3) 两类曲面积分的转化
A
6
练习:
例1. 计算 x d y d z y d z d x z d x d y,
其中为半球面 z R2 x2 y2的上侧.z
提示: 以半球底面 0为辅助面,
且取下侧 ,记半球域为 ,利用
o
高斯公式有
x
y
0
原式 = 3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
f (x, y, z) d S D f (x, y,0) d xdy
f (x, y, z) d x d y D f (x, y,0) d xdy
不对 ! 对坐标的积分与 的侧 有关
A
5
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
(2)
利用高斯公式
注意公式使用条件 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
A
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 通量与散度
设向量场 A (P,Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续
偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为
div A P Q R x y z
A
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
习题课（2）曲面积分的计算法
例5. 已 知 向 量 A=x2i+y2j+z2k,Σ 为 圆 柱 x2+y2 ≤a2(0≤z≤h)的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧 的通量
解： A dS x2dydz y2dzdx z2dxdy
divAdv 2(x y z)dV
0
0
2
zdv
2
h
dxdy0
zdz
a
2h2
Dxy
3 2 R3 0 2 R3
3
A
7
例2. 计算曲面积分
I
x r3
d
yd
z
y r3
d
zd
x
z r3
d
xd
y
其中, r x2 y2 z2 , : x2 y2 z2 R2 取外侧.
解:
I
1 R3
xdy dz
y dzdx
z dxdy
思考: 计算 ?
1 R3
3
d
x
d
y
d
本题改为椭球面
z x a
(2x 2z) d S 2 (x z)ydS
用重心公式
利用对称性
2(x z) d S 0
32
A
9
2
2
4
y2 b2
z2 c2
1
时,应如何
提示:在椭球面内作辅助小球面 x2 y2 z2 2 取
内侧,然后用高斯公式 .
A
8
例3.计算曲面积分 I (x y)2 z2 2 yz d S,其
中是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS