2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()sin f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x →→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx x→→--==可导；（D）000122limlim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。

(2)()[]()10,10,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时(B)1()0,()02f x f ''<<当时(C)1()0,()02f x f '><当时(D)1()0,(02f x f ''><当时【答案】（D ）【解析】2111()11()()()()(,2222!22f f x f f x x x ξξ'''=+-+-介于，之间，故1111220000120111()11()10=()()(()((2222!222!2()11()0()0,()0..2!22f f f x dx f f x dx x dx f x dxf f x x dx f D ξξξ'''''=+-+-=+-''''>⇒-><⎰⎰⎰⎰⎰由于所以，应选(3)设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xxxxx e x N dx dx Mee πππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ-->==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

(5)下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（）(A)111011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(B)101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(C)111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(D)101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】（A）【解析】3110110011011=0001001J E J λλλλλ--⎛⎫⎪=-=--= ⎪ ⎪-⎝⎭令，则特征值（-1），123===1.λλλ则特征值为010=1001) 2.000E J r E J λ-⎛⎫ ⎪-=--= ⎪ ⎪⎝⎭当时，，可知（()3123111111=01101110===1.001001A A E A λλλλλλλλ---⎛⎫⎪-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭选项，令，则由解得()011=1=001 2.000E A e E A λ-⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎝⎭此时当时，，可知101=0111,1,1.=1) 1.001B B B r E B λ-⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.001C C r E C λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭C选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.001D D D r E D λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（E A E J --由于矩阵相似，则相关矩阵与也相似，则r(E-A)=r(E-J).可知答案选A 。

(6)()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）(A)()(),r A AB r A =(B)()(),r A BA r A =(C)()()(){},max ,r A B r A r B =(D)()(),TTr A B r A B=【答案】（A）【解析】(,)(,)().C AB C A r A C r A AB r A ===设，则可知的列向量可以由的列向量线性表示，则（7）设随机变量X 的概率密度()()()(){}211,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则（）(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5【答案】（A）【解析】{}{}(1)(1)()102f x f x f x x P X P X +=-=<=>由知，关于对称，故{}{}{}{}20022102()0.6P X P X P X P X f x dx <+≤≤+>=≤≤==⎰，{}{}200.400.2P X P X ∴<=⇒<=(8)设12,,...,(2)n X X X n ≥为来自总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，令11,ni i X X n ==∑【答案】43y x =-【解析】22y x x '=-(17)(本题满分10分)2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值【解析】2432,x y z x y z π++=设圆的半径为，正方形的边长为，正三角形的边长为，则其面积和22322333(,,),(,,)243244S x y z x y z S x y z x y z y z πππ=++=++++=即是求在约束条件下的最小值是否存在.222(,,,)(2432),4L x y z x y z x y z λπλπ=+++++-设220240,).30224320xy z xL x x L y y L z L x y z z ππλλλπ⎧'=+=⎧=⎪⎪⎪'=+=⎪⎪⎪⎪=⎨⎨'=+=⎪⎪⎪⎪'=++-=⎪⎪=⎩⎪⎩解得唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，【解析】10,0,k x x >假设110,101110.k x xk ke x e x x n n x +->->>=>=由可知2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数(I)123(,,)0f x x x =求的解；(II)123(,,)f x x x 求的规范形.【解析】(I)22212312323131231232133(,,)=()()()0,=0111=0.=011,.=0100.111111111=011011011.10011002f x x x x x x x x x ax x x x x x x A x x x ax a x Ax A a a a -+++++=-+-⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎩⎝⎭⎝⎭=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭由则应有令即由可221,.12.a x k k a -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭≠知当时，方程组有非零解其中为任意常数当时，方程组只有零解(II)222123123212322123122(,,).2213=120306213120(1018)0,306=5=5=0.(,,).a f y y y y y y a B E B f z z z z z λλλλλλλλλλ≠=++=-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭---=-=-+=--+-=+当时，此时显然可知二次型正定，则此时对应的规范形为：当时，方法一：（正交变换法）令二次型对应的实对称矩阵为，则由解得则可知规范形为：方法二：（配方法）由于1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I);a 求(II).AP B P =求满足的可逆矩阵【解析】(I)12121300,0111210, 2.27111a a A B a a a ====-+-==--由于则可知(II)112233122122122122122122()130011012011012011.27211103603300000063646421,21,21101010A B p k p k p k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ 由解得12312323123.364646=121212,.k k k P k k k k k k k k ⎫⎪⎪⎪⎭---⎛⎫ ⎪-+-+-+≠ ⎪ ⎪⎝⎭故解得可逆矩阵其中(22)(本题满分11分){}{}111,2X Y X P X P X Y λ===-=设随机变量与相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分布..Z XY =令(I)(),;Cov X Z 求(II).Z 求的概率分布【解析】(I)()()()()22,=01,=.Cov X Z E XZ EXEZEX EX EY E XZ E X Y Cov X Z E XZ EXEZ λλλ-===⇒==-=，， 121(,),,2(0,),,,..xn X f x e x X X X X σσσσσσ-=-∞<<+∞∈+∞ 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量为(I)ˆσ求；(II)ˆˆ().E D σσ求和【解析】(I)11111=,,21ln (ln ln )2ln 11ˆ()0ixni i ni i nni i i i L e x x L x d L X d n σσσσσσσσ-====-∞<<+∞=--∴=-+=⇒=∏∑∑∑设则令(II)0122222122201ˆ=1111ˆ()()21().x xni i xni i xx x E E X E X e dx e dx n x D D X D X EX E X e dx n n n n x e dx n nσσσσσσσσσσσσσσ--+∞+∞-∞=-+∞-∞=-+∞=======-=-=-=∑⎰⎰∑⎰⎰。