点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑•① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}}③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑•①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}}③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：②3、已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑•①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}}③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：①4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑.①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}}③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：②5、已知汨X {a,b,c,d},下列集:族中，（(）是X上的拓扑•①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}}③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④6、设X {a, b, c}，下列集族中,( ）是X上的拓扑•①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}}③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=()①©②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④8、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},则{b,c,d}=()① ②Q ③R -Q ④R 答案：①20、在实数空间中，有理数集Q 的边界（Q ）是（ ）① ②Q ③R -Q ④R 答案：④9、 已知X {a,b}，拓扑T ①© ②X ③{a} 10、 已知X {a,b}，拓扑T①© ②X ③{a} 11、 已知 X {a,b,c,d}，拓扑 T①© ②X ③{a,b}12、 已知 X {a,b,c,d}，拓扑 T①© ②X ③{a,c}{X, ,{a}},则{a}=()④{b}{X, ,{a}},则{b}=()④{b}{X, ,{a}},则面=()④{b, c,d} 答案：②{X, ,{a}},则® =()④{b,c, d} 答案：④答案：②答案：④13、设X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a},{ b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集个数①1 ②2 ③3④-14、设 X {a,b,c} ，拓扑T{X, ①1 ②2 ③3 ④- 15、设 X {a,b,c} ，拓扑T{X, ①0 ②1③2 ④316、设 X {a,b}， 拓扑T{X,①0 ②1③2 ④317、设 X {a,b}， 拓扑T {X,①1 ②2 ③3 ④4答案：②,{a},{ b,c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为答案：②,{b},{ b,c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为答案：①,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为（答案：③,{ a},{ b}},则X 的既开又闭的子集的个数为（答案：④{X, ,{a},{ b},{ a,b},{ b,c}} , X 的既开又闭的非空真子集个数④4 答案：②19、 在实数空间中, 有理数集Q 的内部Q °是（18、设 X {a,b,c}，拓扑 T 4 4① ②Z ③R-Z ④R 答案：① 22、在实数空间中，整数集Z 的边界（Z ）是（ ） ① ②Z ③R-Z ④R 答案：② 23、 在实数空间中，区间 ① ②[0,1]24、 在实数空间中，区间 ① ②[2,3] 25、 在实数空间中，区间 ① ②[0,1][0,1）的边界是（ ） ③{0,1} ④（0,1） [2,3）的边界是（ ） ③{2,3} ④（2,3） [0,1）的内部是（ ） ③{0,1} ④（0,1） 答案：③答案：③答案：④26、设X 是一个拓扑空间,A, B 是X 的子集，则下列关系中错误的是（① d(A B) d(A) d(B) ③ d(A B) d(A) d(B) 答案：③27、设X 是一个拓扑空间, A, B 是X 的子集，则下列关系中正确的是（d(A B) d(A) d(B) d(A B) d(A) d(B)答案：①A, B 是X 的子集，则下列关系中正确的是（ ① d(A B) A B ③ d(A B) d(A) d(B)④ 29、 已知 X 是- 一个离散拓扑空间, ① d(A) ② d(A) ③ d(A) A ④ d(A) 30、 已知 X 是-一个平庸拓扑空间,① 若A ,则ld(A)设X 是一个拓扑空间, 28、 ② A B A B X③若 A={X 1,X 2},则 d(A) XX A④ d(d(A)) A d(A)答案：④A 是X 的子集，则下列结论中正确的是答案：①A 是X 的子集，则下列结论中不正确的是（②若 A {X 。

},则 d(A) X A ④若A X ,则d （A ） X答案：④31、 已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集，则下列结论中正确的是（ ）①若A ,则d （A ） ②若A {X 。

},则d （A ） X③若人={为也},则d （A ） X A ④若A {x 「X 2},则d （A ） A答案：①32、 设 X {a,b,c,d}，令 B{{ a,b,c},{ c},{ d}},则由 B 产生的 X 上的拓扑是（）①{ X, ,{ c},{ d},{ c, d},{a, b, c}} ②{ X , ,{ c},{ d},{ c, d}}③{ X,,{ c},{ a, b,c}}④{ X, ,{ d},{ b, c},{ b, d},{ b, c, d}} 答案：①33、 设X 是至少含有两个元素的集合，p X , T {G X |p G} { }是X 的拓扑，则（） 是T 的基.① B {{ p,x}| x X {p}}② B {{ x}| x X}36、 平庸空间的任一非空真子集为（）①开集 ②闭集 ③即开又闭 ④非开非闭答案：④37、 实数空间R 中的任一单点集是（）①开集 ②闭集 ③既开又闭 ④非开非闭答案：②3&1 实数空间R 的子集A ={1,, 1 1JJ},则 A -()2 34①© ②R ③A U {0} ④A 答案：③ 39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ) ①整数集 ②a,b ③有理数集 ④无理数集答案：①40、 在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）①整数集Z ②有理数集③无理数集 ④整数集Z 的补集Z 答案：④34、 设X{a,b,c},则下列X 的拓扑中（)以S {X, ,{a}}为子基①{ X, ,{ a},{ a,c}} ②{ X,,{ a}} ③{ X,,{ a},{ b},{ a, b}} ④{ X,}答案：②35、离散空间的任一子集为（） ①开集②闭集③即开又闭④ 非开非闭 答案：③③ B {{ p,x}| x X}④ B {{ x}| x X {p}}答案：③41、已知X {1,2,3}上的拓扑T {X, ,{1}},则点1的邻域个数是（）①1 ②2 ③3 ④4 答案：④44、设(X,T )为拓扑空间，则下列叙述正确的为46、设X 是一个拓扑空间，代B X ,且满足d(A) B A ,则B 是(),X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A {1,3},则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① T { ,{1},{3},{ 1,3}}② T { ,A,{1}}③ T { ,X,{1},{3},{ 1,3}}④ T { ,X,{1}}答案：②49、 设 X {1,2,3}, T={ ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是 X 的拓扑，A {2,3},则 X 的子空间 A 的拓扑为( ) ① T { ,{3},{2,3}}② T { ,A,{2},{3}}③ T { ,X,{2},{3},{2,3}}④ T { ,X,{3}}答案：②50、 设 X {1,2,3}, T={ ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是 X 的拓扑，A {1},则X 的子空间 A 的拓扑为()① T{ ,{1}}② T {,A,{1,2}}③ T { ,X,{1},{3},{ 1,3}} ④ T { ,X,{1}}答案：①51、 设 X {1,2,3} ,T={ ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是 X 的拓扑，A {2},则 X 的子空间 A 的拓扑为( ) ① T { ,{2},{ 1,2}} ② T { ,A}① 1 43、 ① 3 个 ② 2 个 ③ 3 个 ④ 4 个 已知X ={a, b, c},则X 上的含有4个元素的拓扑有 ② 5 ③ 7 ④ 9③ 3个 答案：④ )个 答案：④① X T , T③当T T 时，U UT时,IUT答案：③45、在实数下限拓扑空间 R 中，区间［a, b)是(① 开集 ② 闭集 ③既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：③① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：②47、设 X {1,2,3} , T={ ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}} 是X 的拓扑，A {1,2},则X 的子空间A 的拓扑为( ){ ,{2},{ 1,2}}② T { ,X,{1},{2},{ 1,2}}③ T { ,A,{1},{2}}④ T { ,X,{1},{2}}答案：③48、设 X {1,2,3} , T={52、设X {1,2,3} ,T={ ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A {3},则X 的子空间 A 的拓扑① T { ,{2},{ 1,2}} ② T { ,{X},{1,3}}③ T { ,X,{3}} ④ T { ,{3}} 答案：④53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（）① T { ,Z} ② T P(Z) ④T {Z} 答案：②54、设X X2X6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间• R是X到X1的投射，则P1是（）①单射③满的连续闭映射②连续的单射④满的连续开映射答案：④55、设X X i X2 X6是拓扑空间X i,X2, L ,X6的积空间• P2是X到X2的投射，则P2是（）①单射③满的连续闭映射②连续的单射④满的连续开映射答案：④56、设X X i X2X6是拓扑空间X i,X2,L ,X6的积空间• P3是X到X3的投射，则P3是（）①单射③满的连续闭映射②连续的单射④满的连续开映射答案：④57、设X X i X2X6是拓扑空间X i,X2, L ,X6的积空间• P4是X到X4的投射，则（）①单射③满的连续闭映射②连续的单射④满的连续开映射答案：④58、设X X i X2X6是拓扑空间X i,X2,L ,X6的积空间• F5是X到X5的投射，则Ps是（）①单射③满的连续闭映射②连续的单射④满的连续开映射答案：④59、设X X i X2 X6是拓扑空间X i,X2,L ,X6的积空间• Ps是X到X6的投射，则F6是（）①单射③满的连续闭映射②连续的单射④满的连续开映射答案：④60、设X i和X2是两个拓扑空间，X i X2是它们的积空间X i，B X2，则有（① A B A B ② A B A B ③(A B)° A° B°(A B) (A) (B)答案：②6i、有理数集Q是实数空间R的一个（）①不连通子集③开集②连通子集④以上都不对答案：①62、整数集Z是实数空间R的一个（）①不连通子集②连通子集③开集④以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R的一个（）①不连通子集②连通子集③开集④以上都不对答案：①64、设丫为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y Z Y,①不连通子集②连通子集③闭集④开集答案：②65、设X i,X2是平庸空间，则积空间X i X2是（）①离散空间②不一定是平庸空间③平庸空间④不连通空间答案：③66、设X i,X2是离散空间，则积空间X i X2是（）①离散空间②不一定是离散空间③平庸空间④连通空间答案：①67、设X i,X2是连通空间，则积空间X i X2是（）①离散空间②不一定是连通空间③平庸空间④连通空间答案：④68、实数空间R中的连通子集E为（）①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：④69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为（区间)④以上都不对答案：③①开区间②闭区间③70、实数空间R中的连通子集E为（)①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（)（I）单位圆周S1是连通的；(□)R {0}是连通的(E) R 2 {(0,0)}是连通的 (W) R 2和R 同胚 ①1②2③ 3④4答案：② 二、填空题(每题1分)1、 设X {a,b},则X 的平庸拓扑为 __________________ ； ___________ 答案：T {X, }2、 设X {a,b},则X 的离散拓扑为 ___________________ ； ___________ 答案：T {X, ,{a},{ b}}3、 同胚的拓扑空间所共有的性质叫 _______________ ; ____________ 答案：拓扑不变性质4、 在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是 ______________ .答案：R5、 x d(A)当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ________________________ 答案：U (A {x}) 6设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则d(A)= ; 答案：X 7、 设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，贝U A= ; 答案：X8、 设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则d(A)= ; 答案：X 9、 设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则 A= ; 答案：X 10、 为设X{1,2,3}1,X 的拓扑T答案： {X, {2},{2},{2,3}},则X的子集A {1,2} 的内部11、 设X{1,2,3} ,X 的拓扑T{X,,{1},{2,3}},则X的子集A {1,3} 的内部为J答案： {1}12、 设X{1,2,3},X 的拓扑T{X,,{1},{2,3}}, ，则X 的子集A {1,2}的内部为答案:{1}13、 设X {1,2,3},X 的拓扑T{X, ,{2},{2,3}},则X 的子集A {1,3} 的内部为 _____________ ; ________ 答案：14、设X {a,b,c},则X 的平庸拓扑为 __________________ ; ____________ 答案：T {X, }为 _____________ ; ________ 答案：{3}17、设 X {1,2,3} , X 的拓扑 T {X, ,{1}, {3},{ 1,3}},则 X 的子集 A {1,2} 的内部为 _____________ ; ________ 答案：{1}18、f :X Y 是拓扑空间X 到丫的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集f(X)15、设X {a,b,c},则X 的离散拓扑为________ 答案：T{X, ,{a},{b},{ c},{ a, b},{ a,c},{ b,c}}16、设 X {1,2,3} , X 的拓扑 T {X, ,{2} ,{3} ,{2,3}} ,则X 的子集A {1,3}的内部的一个同胚，则称映射f是一个_________ . ____ 答案：嵌入19、f ：X Y是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且丫的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个_________ ；答案：商映射20、设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f (U)是丫中的一个开集，则称映射f是一个____________ 答案：开映射21、设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是丫中的一个闭集，贝U称映射f是一个__________ 答案：闭映射22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B,使得A B个________________ ;答案：不连通空间23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集代B,使得A B个________________ ;答案：不连通空间24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 __________ 答案：不连通空间25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足丫Z 丫，则Z也是X的个；答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个____________________________________ ;答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个________________ ;答案：可商性质28、若任意n 1个拓扑空间X I,X2,L ,X n,都具有性质P,则积空间X i X? L X n也具有性质P，则性质P称为__________ ； ____ 答案：有限可积性质29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A B X ,则称X是一个______________________ ;答案：不连通空间•三•判断(每题4分，判断1分，理由3分)1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射() 答案:V理由：设X是离散空间，丫是拓扑空间，f : X Y是连续映射，因为对任意 A 丫，都有f \A) X ,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f 1(A)是中的开集，所以f : X Y 是连续的•2、设T I,T2是集合X的两个拓扑，贝U T i T2不一定是集合X的拓扑()答案：X理由：因为(1) T I,T2是X的拓扑，故X, T i, X, T2,从而X , T i T2 ；(2)对任意的A,B T i T 2 ,则有A,B T i且A,B T 2 ,由于T i, T2是X的拓扑，故A B T i 且 A B T2，从而 A B T i T 2 ；(3)对任意的T T i T2，则T T i,T T2，由于T i, T2是X的拓扑，从而U T U T I,U T U T2,故u T'U T I T 2 ;综上有T i T2也是X的拓扑.3、从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射( )答案：V理由：设 f ： X Y 是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有Y, , 易知它们在 f 下的原象分别是X, , 均为X 中的开集，从而 f ： X 丫连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A ( )答案：V理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{ p} 是X 的开子集，且有p I A p ，即p d A ,从而d(A) .5、设A为平庸空间X ( X多于一点)的一个单点集，贝U d A ( )答案：X理由：设A {y},则对于任意x X,x y,x有唯一的一个邻域X，且有y X (A x),从而X (A x)，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X (A y)，所以有 d A X A .6设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，贝U d A X ( )答案：V理由：对于任意x X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X (A x)，因此x是A的一个凝聚点，即x d(A)，所以有d A X .7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集A,B, 使得 A B ,A B X( )答案：V理由：设X 是一个不连通空间，设A,B 是X 的两个非空的隔离子集使得 A B X , 显然B B X (B A) (B B) B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了代B满足A B , A B X .8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间() V 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令 B A，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A B X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 五•简答题(每题4分)1、设X是一个拓扑空间，代B是X的子集，且A B.试说明d(A) d(B).答案：对于任意x d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U (A {x}),由于A B，从而U (B {x}) U (A {x}) ，因此x d(B)，故d(A) d(B).2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X Y, g:Y Z都是连续映射，试说明gof :X Z也是连续映射•答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y Z是一个连续映射，从而g 1(W)是丫的一个开集，由f : X Y是连续映射，故f IW))是X的一开集，因此(gof) 1(W) f 1(g 1(W))是X的开集，所以g o f: X Z是连续映射.3、设X是一个拓扑空间，A X .试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集. 答案：对于x A ,则x A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U (A {x}) , 因此U A ，即U A,所以对任何x A, A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、设X是一个拓扑空间，A X .试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设x A,则x A,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足A A ,因此x A,从而A A,即有A A，这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：x~y x, y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x, y [2,)设在这个等价关系下得到的商集丫{[ 0],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.答案：T {，丫,{[0]},{[0],[1]}}6、在实数空间R 中给定如下等价关系:x~ y x,y ( ,1] 或者x, y (1,2] 或者x, y (2, )设在这个等价关系下得到的商集丫{[1],[2],[3]} ,试写出丫的商拓扑T . 答案：T { ,丫,{[3]},{[2],[3]}}7、在实数空间R 中给定如下等价关系：x~ y x,y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2, ) 设在这个等价关系下得到的商集丫{[ 1],[1],[2]} ,试写出丫的商拓扑T. 答案：T { ,丫,{[ 1]},{[ 1],[1]}}8、在实数空间R 中给定如下等价关系：x~ y x,y ( ,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2, ) 设在这个等价关系下得到的商集丫{[ 2],[1],[2]} ,试写出丫的商拓扑T. 答案：T { ,丫,{[ 2]},{[ 2],[1]}}9、在实数空间R 中给定如下等价关系:x~ y x,y ( ,1] 或者x, y (1,2] 或者x, y (2, ) 设在这个等价关系下得到的商集丫{[0],[2],[3]} ,试写出丫的商拓扑T . 答案：T { ,丫,{[3]},{[2],[3]}}10、在实数空间R 中给定如下等价关系:x~ y x,y ( ,1] 或者x, y (1,2] 或者x, y (2, ) 设在这个等价关系下得到的商集丫{[0],[2],[4]} ,试写出丫的商拓扑T . 答案：T { ,丫,{[4]},{[2],[4]}}11、在实数空间R 中给定如下等价关系:x~ y x,y ( ,1] 或者x, y (1,2] 或者x, y (2, )设在这个等价关系下得到的商集丫{[ 1],[2],[4]}，试写出丫的商拓扑T .答案：T { ,丫,{[4]},{[2],[4]}}六、证明题(每题8分)1、设f ：X Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集A,B使得f(X) A B .................................................. 3 分于是f 1(A), f 1(B)是X的非空子集，并且：1 1 1 1(f 1(A) f 1(B)) (f 1(B) f 1(A))(f 1(A) f 1(B)) (f 1(B) f 1(A))f 1((A B) (A B))所以 f 1(A), f 1(B) 是X 的非空隔离子集此外，f 1(A) f 1(B) f 1(A B) f 1(f(X)) X，这说明X不连通，矛盾.从而f (X)是丫的一个连通子集• .................... 8分2、设丫是拓扑空间X的一个连通子集,证明：如果A和B是X的两个无交的开集使得Y A B,则或者Y A,或者丫B.证明：因为A,B是X的开集，从而A Y,B Y是子空间丫的开集.又因丫 A B中，故Y (A Y) (B Y) .................................... 4分由于丫是X的连通子集,则A Y,B Y中必有一个是空集•若B 丫,则丫A;若A 丫,则丫B ..................... 8 分3、设丫是拓扑空间X的一个连通子集,证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y A B,则或者丫A,或者丫B.证明：因为A,B是X的闭集，从而A Y,B Y是子空间丫的闭集.又因丫 A B中，故Y (A Y) (B Y) .................................... 4分由于丫是X的连通子集,则A Y,B Y中必有一个是空集.若B 丫,则丫A;若A 丫,则丫B ..................... 8 分4、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足丫Z Y，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z 是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集代B使得Z A B.因此Y A B ................................ 3 分由于丫是连通的，所以丫A或者丫B,如果丫A，由于Z Y A，所以Z B A B因此 B Z B ,同理可证如果丫B，则A ,均与假设矛盾.故Z也是X的一个连通子集•................................................... 8分5、设{Y } 是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族•如果| 丫,则U 丫是X的一个连通子集•证明：若U 丫是X的一个不连通子集•则X有非空的隔离子集代B使得U Y A B ......................................... 4 分任意选取x I Y ,不失一般性，设x A,对于每一个，由于Y连通，从而U 丫 A及B ,矛盾，所以U 丫是连通的•............................... 8分6设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A B ,则A B.证明：若B X,则结论显然成立.下设B X ,由于B是X的一个既开又闭的集合，从而A B是X的子空间A的一个既开又闭的子集4分由于A B 及A连通，所以A B A，故A B. ...................... 8分7、设A是连通空间X的非空真子集.证明:A的边界(A).证明：若(A),由于(A) A A ,从而A A (A A ) (A A) (A A) (A A ),故A , A是X的隔离子集.................................. 4分因为A是X的非空真子集,所以A和A均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以(A) . ....................................... 8 分。