q 0 (q p)
q (q p)
(q q) p
q (q p)
1 p
1
考虑问题:能否利用等价式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。 判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足
式，或者判断两个命题公式是否等价。有两种方
且 A (B C) 与 A (B C) ，
( A B) ( A C )与( A B) ( A C )
均为相互对偶式，
所以可得： A ( B C ) ( A B) ( A C )
1.5
联接词的完全集：源自 A ( B C ) ( A B) ( A C )
二、重要等价式（逻辑恒等式）。
4、德摩根律
( A B) A B ，
( A B) A B
5、等幂律
6、吸收律
A A A ，A A A
A ( A B) A ，
A ( A B) A
(1) p (q r ) ( p q) r (2)
(3)
p (q r) p (q r) q r q (p q) p 1
例2、验证下列等价式。
(1) p (q r ) ( p q) r
解： p (q r )
A B A B
A B ( A B) ( B A)
A B B A
A B A B
13、假言易位
14、等值否定表达式
15、归谬论
( A B) ( A B) A
三、等价演算。 置换定理：如果 A B，则 ( A) ( B)。 例2、验证下列等价式。
p (q r )
p (q r )
(p q) r
蕴涵表达式
蕴涵表达式
结合律
德摩根律
( p q) r
( p q) r
蕴涵表达式
例2、验证下列等价式。
p (q r) p (q r) q r 解： p (q r) p (q r) (q r ) p (q r ) p 交换律
(2)
(q r ) ( p p)
(q r ) 1
qr
分配律
排中律
同一律
解： q (p q) p
(3) q (p q) p 1
q (p p) (q p)
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
2、判定 。
判断两公式 A, B 是否等价，即判断 A B
是否重言式 。
例1、判断 A, B 两公式是否等价。 (1) A ( p q) ， B p q 解：作真值表如下：
例1、判断 A, B 两公式是否等价。
(2) A p q ， B ( p q) (q p) 解：作真值表如下：
二、重要等价式（逻辑恒等式）。 1、交换律 A B B A ，A B B A 2、结合律 ( A B) C A ( B C ) ，
( A B) C A ( B C )
3、分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) ，
1.3 等价演算
内容：等价关系，24个重要等价恒等式式， 等价演算。 重点：(1) 掌握两公式等价的定义。
(2) 掌握24个重要等价式，并能利用
其进行等价演算。
一、两命题公式间的等价关系。
1、定义：设 A, B 为两命题公式，若等值式 A B
是重言式，则称 A与 B 是等价的，记作 A B 。
二、重要等价式。（逻辑恒等式）
7、零律
8、同一律
A 1 1 ，A 0 0
A 0 A ，A 1 A
9、互否律
A A 1 (排中律)，
A A 0 (矛盾律)
10、双重否定律
(A) A
二、重要等价式。（逻辑恒等式）
11、蕴涵表达式
12、等值表达式
法，即真值表法和等价演算法。
例3、用两种方法证明: ( p q) (p q) p q [证法一] 用真值表法
由最后两列真值完全相同，于是命题成立。
例3、用两种方法证明: ( p q) (p q) p q [证法二] 用等价演算法
p q p q
A 与 A *互为对偶式。
p (q r )与p (q r )， 例如 ： p q与 p q ，
( p q) 0 与 ( p q) 1
对偶原理。 若 A B ，则 A* B * 。 例如：已知 A ( B C ) ( A B) ( A C ) (分配律)，
( p q) (p q) (p q) ( p q)
( p q) (p q)
蕴涵表达式
双重否定律 交换律
结合律 吸收律
p q p q
p q
1.4
对偶定理
定义：设公式 A 仅含联结词 , , ，则将 , , 0,1 分别用 , ,1, 0 替代，所得的公式 A *称 A的对偶式。