由 独立同分布的中心极限定理可证
例 某车间有200台机床独立工作，设每台机器实 际工作时间占全部工作时间的75％，问任意时刻 有144至160台机器正在工作的概率
解 设X为200台机器中工作着的机器台数，
则 X ~ B(200,0.75)
E(X ) 200 0.75 150 D(X ) 200 0.75 0.25 37.5
俄国数学家李亚普诺夫证明了在某些非常 一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布， 当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分 布的。
在概率论中，把大量独立的随机变量和的 分布以正态分布为极限的这一类定理统称为
中心极限定理。
依分布收敛
设随机变量序列X, X1,X2,…,Xn…的分布 函数依次是F(x), F1(x), F2 (x),, Fn (x),
第五章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？
大数
定律
2.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？
中心极 限定理
§大数定律-阐述大量随机现象平均结果的稳定性
切比雪夫不等式
设X 具期望 E(X ) 和方差 D(X ) 2 ，则对于
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，2 i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
| } 1
伯努利大数定律
设nA为n次独立重复试验中事件A发生的次数，每
则对于任意实数 x,
n
Xk
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
(x)
它表明，当n充分大时 ，n个具有期望和方差
的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.
n
说明
记
X k n
Yn k1 n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
用的因素Xk的总和 Xk，而这个总和服从 k
或近似服从正态分布.
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
k 1
lim
n
PYn
x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数
近似
Yn ~ N (0,1)
例. 某人一次射击,命中环数X的分布为
X
6
7
8
9
10
P 0.05 0.05 0.10 0.30 0.50
求100次射击中命中总环数在900环到930环之间的概率.
g( X n ,Yn ) P g(a,b).
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律）
设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差是一致有上界的，即
D(Xi) ≤C，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
lim
n
P{|
1 n
n k 1
P(144 X 160) P144 150 X 150 160 150
37.5
37.5
37.5
160 150 144 150 37.5 37.5
查表得
1.63 0.98
0.7849
应用中心极限定理的求概率的方法
构造一串独立同分布的随机变量，将所求的 概率问题转化为这一串随机变量之和在某一 范围内的概率
中心极限定理是概率论中著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似 概率的简单方法，而且有助于解释为什么正 态分布最常见的这一值得注意的事实.
作业：教材习题五 1, 3， 6， 8，
解:设X表示100次中命中的总环数, Xi表示第i次命中
的环数(i=1,…,100),
100
则 X1,X2,…,X100 相互独立同分布, 且 X X i i 1 E(X ) 100 E(Xi ) 915 D(X ) 100 D(Xi ) 123
P(900 X 930) F(930) F(900)
Xk
1 n
n k 1
E(Xk
)
|
}
1
即：
1 n
n k 1
Xk
P 1 n
n
E(X k )
k 1
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1
n
n i 1
X
i
与其数学期望
1 n
n i1
E( Xi )偏差很小的
概率接近于1.
切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
p)
p(1 n
p)
0
1
P
nA n
p
1
D nA n
2
1
p(1 p)
n 2
即:
lim
n
P
nA n
p
1
伯努利
定理（贝努里大数定律）
设 n A 是n重贝努里试验中
事件A发生的次数，p是事件A
发生的概率，则对任给的ε> 0，
辛钦
分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
|
}1
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
它是随机现象统计规律的具体表现.
中心极限定理
为什么大量的随机变量都服从正态分布？
如果对于 F(x)的每一个连续点x，都有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
则并称记随为机变量序列{Xn}依分布收敛于X，
X n L X
定理（独立同分布下的中心极限定理）
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立且服从同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
次试验中事件A发生的概率为p， 则 0
lim
n
P
nA n
p
1
即 nA P p n
证明（由切比雪夫不等式可直接证明）
nA ~ B(n, p)
D( nA n
)
1 n2
D(nA )
E(
nA n
)
1 n
E(nA
)
1 np p n
1 n2
np(1
(930 915) (900 915)
123
123
=0.8230
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
(即这些因素的叠加)的结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，
任意实数 > 0,
P(|
X
|
)
2 2
或
P(| X | ) 1 2
证
2
P( X
)
f (x)dx
x
(x )2
x
2
f (x)dx
1
2
(x )2 f (x)dx D( X )
2
依概率收敛
此定理说明二项分布的近似分布是正态分布
证 引入 随机变量序列{Xk}
1, 第k次试验A发生
Xk
0,
第k次 试 验A 发 生
设P(X k 1) p,
X1, X 2,, X n 相互独立，
n
Yn X k k 1
E(Yn ) np, D(Yn ) np(1 p)
lim P{| nA p | } 1
n
n
贝努里
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分
大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有
较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了
通过试验来确定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
设X1,X2,…,Xn是一个随机变量序列
a是一个常数，如果对于任意的正数 ，
有
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于
常数a，并记为
X n P a
依概率收敛的序列还有以下性质.
设X n P a,Yn Pb, 又设函数g(x, y)在点(a,b)连续,则
