江苏省扬子江高级中学09-10学年高二上学期期中考试数学命题人：陈 健 09.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.命题“若220a b +=，则00a b ==且”的逆命题是 ▲ 。

2.命题“2,10x R x ∀∈+≥都有”的否定是 ▲ 。

3.圆锥曲线离心率为2是圆锥曲线表示双曲线的 ▲ 条件。

4.如图是中央电视台举办的某次挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，则所剩数据的平均数为 ▲ 。

5.某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是 ▲ 。

6.离心率为21，长轴长为4，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 ▲ 。

7.已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 ▲ 。

8.抛物线22(0)y px p =≠的准线方程为 ▲ 。

9. 从甲、乙两个总体中各抽取一个样本，其中甲的样本均值为15，乙的样本均值为17，甲的样本方差为3，乙的样本方差为2，那么 ▲ 的总体波动小。

10.如图，已知圆的半径为R ，某人向圆内投镖，如果他每次 都投中圆内，那么他投中正方形区域的概率为 ▲ 。

11.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两球恰好颜色不同的概率是 ▲ 。

12.甲、乙两射手独立地射击同一目标．他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则目标被击中的概率是 ▲ 。

13.已知抛物线)0(22>=p px y ，过定点)0,(p 作两条互相垂直的直线21,l l ，若1l 与抛物线交于Q P ,两点，2l 与抛物线交于N M ,两点，1l 的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k p p kp ,2，请你写出弦MN 中点坐标 ▲ 。

14.设点(),a b 在平面区域D={}1,1),(≤≤b a b a 中，按均匀分布出现，则满足椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23<e 的点(),a b 概率为 ▲ 。

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤）15. （本小题满分14分）设p:“函数1y ax =+在R 上单调递减”;q:“曲线1)1(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点”,如果p 且q 为假命题,p 或q 为真命题,求a 的取值范围. 16.(本小题满分14分)从某校参加2009年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．（2）补全在区间 [70，140] 上的频率分布直方图；（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少 学生能参加决赛？17. （本小题满分14分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22221x y a b-=（0,>b a ）的一个焦点1F ，且垂直于2C 的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C 的一个交点是2(,)33M ．求 （1）抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标；（2）双曲线2C 的方程及其离心率e ． 18．（本小题满分16分）盒中有10只晶体管，其中2只是次品，每次随机地抽取1只，作不放回抽样，连抽两次，试分别求下列事件的概率：(1)2只都是正品； (2)2只都是次品； (3)1只正品，1只次品； (4)第二次取出的是次品。

19. （本小题满分16分）（1）已知{0,1,2,3},{0,1,2}b c ∈∈，求方程220x bx c ++=有实根的概率； （2）已知[0,3],[0,2]b c ∈∈，求方程2220x bx c ++=有实根的概率．.0.0.0.0.0.0.0.0.0.020. （本小题满分16分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值; （2）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BF λ=，求λ的值； （3）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.扬子江高级中学2009年秋学期高二年级数学期中考试答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1. 若00a b ==且，则220a b +=2. 2,10x R x ∃∈+<使得3. 充分不必要4. 855. 166. 22143x y +=7. 538. 18y p =-9. 乙 10.2π 11. 122512. 0.98 13. 2(,)pk p pk +- 14. 161二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤）15、（本小题满分14分）解：若p 真，则0a < …………………………………3分若q 真，则13a a <->或…………………………………7分 由p 且q 为假命题,p 或q 为真命题知p 、q 一真一假，则 若p 真q 假，则10a -≤< …………………………………10分若q 真p 假，则3>a …………………………………13分综上可知：a 的取值范围为{}103a a a -≤<>或…………………14分16、（本小题满分14分）解：（1）50；0.04；0.10． ………… 6分 （2）如图． ……………… 10分 （3）在随机抽取的50名同学中有7名出线，则74506350⨯=．………… 13分答：在参加的450名中大概有63名同学出线． ………………… 14分 17. （本小题满分14分）解：（1）设抛物线1C 的方程为2y mx =，则由1C 的图象过点)362,32(M 可知 2)362(=23m ⨯ ∴4m = ∴抛物线1C 的方程为x y 42=，其焦点为)0,1(F …………………7分（2）由双曲线2C 的图象过点)362,32(M 可知294a —2924b=1① 由抛物线1C 的准线1x =-经过双曲线2C 的一个焦点1F 可得：122=+b a ②由①②得2218,99a b == ……………………12分∴双曲线2C 的方程为189922=-y x其离心率为3=e …………………………………14分18、（本小题满分16分）解：（1）记“连抽两次2只都是正品”为事件A ，则8728()10945P A ⨯==⨯ 答： 2只都是正品的概率为28/45。

……………………4分 （2）记“连抽两次2只都是次品”为事件B ，则211()10945P B ⨯==⨯ 答：2只都是次品的概率为1/45。

……………………8分 （3）记“连抽两次1只正品，1只次品”为事件C ，则822816()10945P C ⨯+⨯==⨯ 答：1只正品，1只次品的概率为16/45。

……………………12分 （4）记“连抽两次第二次取出的是次品”为事件D ，则291()1095P D ⨯==⨯ 答：第二次取出的是次品的概率为1/5。

……………………16分19、（本小题满分16分）解：（1）设方程220x bx c ++=有实根为事件A ． 数对(,)b c 共有4312⨯=对．……………………2分若方程有实根，则2(2)4b c ∆=-≥0，即2b c ≥．………………4分则使方程有实根的数对(,)b c 有(0,0),(1,0)(1,1)(2,0),(2,1),(2,2),(3,0)(3,1),(3,2)，， 共9对．……………6分 所以方程有实根的概率93()124P A ==． ……………………8分 （2）设方程2220x bx c ++=有实根为事件B ．{}(,)03,02D b c b c =≤≤≤≤，所以326D S =⨯=．……………………10分 方程有实根对应区域为{}22(,)d b c b c =≥，216242d S =-⋅=．……………14分所以方程有实根的概率2()3d D S P B S ==． ……………………16分 20、（本小题满分16分）解：（1）易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-……3分因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1 …………5分（2）设C （0x 0，y ）， )1,0(-B ()1F由 11CF BF λ= 得 00)1,x y λλλ-==-，………………8分又 220014x y +=2670λλλλ++=所以有，解得=-7(=1>0舍去）………………10分（3）因为12244PF PB PF PB BF +=-+≤+ ………………13分∴1PBF ∆的周长≤214BF BF ++≤8．即当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．………………16分期中考试答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1. 若00a b ==且，则220a b +=2. 2,10x R x ∃∈+<使得3. 充分不必要4. 855. 166. 22143x y +=7. 538. 18y p =-9. 乙 10.2π 11. 122512. 0.98 13. 2(,)pk p pk +- 14. 161二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤）15、（本小题满分14分）解：若p 真，则0a < …………………………………3分若q 真，则13a a <->或…………………………………7分 由p 且q 为假命题,p 或q 为真命题知p 、q 一真一假，则 若p 真q 假，则10a -≤< …………………………………10分 若q 真p 假，则3>a …………………………………13分综上可知：a 的取值范围为{}103a a a -≤<>或…………………14分16、（本小题满分14分）解：（1）50；0.04；0.10． ………… 6分 （2）如图． ……………… 10分 （3）在随机抽取的50名同学中有7名出线，则74506350⨯=．………… 13分答：在参加的450名中大概有63名同学出线． ………………… 14分 17. （本小题满分14分）解：（1）设抛物线1C 的方程为2y mx =，则由1C 的图象过点)362,32(M 可知 2)362(=23m ⨯ ∴4m = ∴抛物线1C 的方程为x y 42=，其焦点为)0,1(F …………………7分（2）由双曲线2C 的图象过点)362,32(M 可知294a —2924b=1① 由抛物线1C 的准线1x =-经过双曲线2C 的一个焦点1F 可得：122=+b a ②由①②得2218,99a b == ……………………12分∴双曲线2C 的方程为189922=-y x其离心率为3=e …………………………………14分18、（本小题满分16分）解：（1）记“连抽两次2只都是正品”为事件A ，则8728()10945P A ⨯==⨯ 答： 2只都是正品的概率为28/45。