海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题命题人：余书胜 审核人：文德良 （考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注意事项：1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|430P x x x =-+≤，{|Q y y ==，则P Q ⋂=（ ）A.[1,3]B.[2,3]C.[0,)+∞D.∅2.i 是虚数单位，则复数2iz i-=在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知点(2,8)在幂函数()nf x x =图像上，设0.30.212455,,log 544a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A.b a c >>B.a b c >>C.c b a >>D.b c a >>4.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.系统抽样D.按地区分层抽样5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15010,40S S ==，则15S =（ ） A.80B.90C.100D.1106.函数()2ln ||xf x x =的图象大致是（ ）A. B. C. D.7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A.48B.72C.90D.969.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V =（ ）A.216+B.1C.26D.212+10.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的面积为（ ）62431228311.()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，满足2()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，且对任意x R ∈，都有()4f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭..当ω取最小值时，函数()f x 的单调递减区间为（ ）.A.,,12343k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B.2,2,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ,,123123k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D. 2,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）.A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(1,3)a =-r ，(1,)b t =r ，若(2)a b a -⊥r r r，则a r 与b r 的夹角为________.14.当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是_______.15.已知()29211012111(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则1211a a a +++L 的值为________.16.若直线y kx b =+是曲线xy e =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅r r r r .（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18.（12分）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22S =，416S =，{}1n a +是等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()2log 33n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.19.（12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家，”这个论断被各种媒体反复引用.出现这祥的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数X 的分布列及数学期望.20.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,2ABC PA PB AB ︒∠====，点N 为AB 的中点.（1）证明：AB PC ⊥；（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的余弦值.21.（12分）已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b +=>>为椭圆与x 轴的一个交点，过原点O 的直线交椭圆于,B C 两点，且0,||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）求此椭圆的方程；（2）若(,)P x y 为椭圆上的点且P 的横坐标1x ≠±，试判断PB PC k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.22.（12分）己知()1()1f x n x a ax =+-+； （1）讨论函数的单调性； （2）当2a ⎛∈ ⎝⎭时，函数有两个零点12,x x ，证明：120x x +>. 海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题 参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本木运算.每小题5分，共20分. 13.4π14.(2,)-+∞ 15.2 16.1或1e三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）()22sin ,cos a x x =r ，3,2)b x =r ，由2()23cos 2cos 32cos212sin 216f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭r r ，∴()f x 的最小正周期22T ππ==， 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈剟， 得：263k x k ππππ+≤≤+，∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时， 可得：72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为72sin 106π+=， 当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为2sin132π+=，故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0. 18.解：（1）设{}1n a +的公比为q ，由题知0q >，且有：()()2312421111a q a a q a ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩，所以：()2341222a a q a a ++=++，即：()242222S S q S -+=+，代入242,16S S ==，得2164q =，所以2q =或者2q =-（舍去）所以：()21121a a +=+，所以：2121a a =+ 由21211221S a a a a ==+=++得：113a =，所以：1413a += 所以：()11141123n n n a a q--+=+⋅=⋅所以：1213n n a +=- （2）因为1213n n a +=-，所以()2log 331n n b a n =+=+， 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111111233412222(2)n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19.船：（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70)的频率为(0.0200.0300.025)100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数为400.7530⨯=.（2）40名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 设中位数为x ，则0.005100.010100.020100.030(50)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年在[20,30)的读书者有2人，年龄在[30,40)的读书者有4人，设年龄在[30,40)的读书者人数为X，X的所有可能取值是0，1，2，2024261(0)15C CP xC⋅===，1124268(1)15C CP xC⋅===，0224262(2)5C CP xC⋅===，X的分布列如下：X0 1 2P11581525数学期望1824(0)012151553EX P x===⋅+⋅+⋅=.20.解：（1）连接AC，因为,60AB BC ABC︒=∠=，所以ABC∆为正三角形，又点N为AB的中点，所以AB NC⊥.又因为PA PB=，N为AB的中点，所以AB PN⊥.又NC PN N⋂=，所以AB∠⊥平面PNC，又PC⊂平面PNC，所以AB PC⊥.（2）由（1）知PN AB⊥.又平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，所以PN⊥平面ABCD，以N为坐标原点，分别以,,NB NC NP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(1,0,0),(0,3,0),(0,0,0),(0,0,3)B C N P，33(2,3,0),1,,22D M⎛⎫--⎪⎝⎭，设平面MNC的一个法向量为(,,)n x y z=r，可得n NCn NM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u rru u u u rr得3,0,12n⎛⎫= ⎪⎝⎭r，由（1）知AB⊥平面PNC，则取平面PNC的一个法向量(1,0,0)m=r，21cos,||||m nm nm n⋅<>==r rr rr r，故二面角M NC P--的余弦值为217.21.解：（1）因为(2,0)A为椭圆与x轴的一个交点，所以2a=.由0,||2||AC BC BC AC⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得||||,90AC OC OCA︒=∠=，由等腰直角三角形的性质可得(1,1)C ，代入椭圆方程可得2221114b +=，解得243b =，所以此椭圆的方程为221443x y +=. （2）由（1）可得(1,1),(1,1)C B --，由(,)P x y 在椭圆上，可得223144x y +=， 所以222222411134111133111113PB PCx xy y y k k x x x x x ⎛⎫-- ⎪-+--⎝⎭⋅=⋅====-+----， 即PB PC k k ⋅是定值，定值为13-.22.解：（1）()211()ax a f x a x a x a+-'=-=-++ ①若0,()ln 1,()a f x x f x ==+在(0,)+∞上单调递增；②若2110,()0,a a f x x a a a-'≠=⇔==- 当0a >时，1a a a ->-，所以()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当0a <时，1a a a-<-，所以()f x 在(,)a -+∞单调递增； （2）由（1）的讨论可知当0,2a ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且10a a->，2211ln ln 0f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以两个零点121x a x a <-<，①当1a e <时，(0)ln 10f a =+<，所以1210x a x a <<-<，显然120x x +>； ②当1a e >时，(0)ln 10f a =+>，所以1210x a x a<<-<，令()(ln(1g a f a ==-+()g a '=22121()a g a a --'=++=因为0,2a ⎛∈ ⎝⎭221210a --<，所以()g a在12e ⎛ ⎝⎭上单调速减，又11ln 10g e e ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g a <，即(0f <，又因为0a -<<，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，所以0a -<，所以10x <<， 即22121a x e->，()221ln 2a x ->-. 而()()111ln 10f x x a ax =+-+=，()()()()221111ln ln 2ln 20f x x a x a a x -=-++++=-+>，所以21x x >-，即120x x +>，命题得证.。