Ａ．
当
；
0 , an
Ｂ．
在 中除有限个项以外，其余所有
U(a; )
的项都落在邻域
之内；
a2k1 , a2k
Ｃ．
都收敛；
an
a
Ｄ． 中有无穷多个子列都收敛于 ．
3
［理由］ Ｂ 与 lim a n a 的 " N " 定义显然是等
n
价的；它也可说成是：“ 0 , 在邻域 U ( a ; ) 外，
A]
I
f (I)
Ａ．当 f (为I 闭) 区间时， I 必为闭区间；
Ｂ．当 I 为闭区间时f，( I )必为闭区间；
Ｃ．当 为开区间时，
必为开区间；
Ｄ．以上 Ａ、Ｂ、Ｃ 都不一定成立．
5
［理由］ 依据连续函数在闭区间上的最大（小）值 定理与介值性定理，可知 A 是正确的．容易举出反例 , 说明 B 与 C 都是错的，例如：
y
( x, y )
O
ax
a
14
依据 Lagrange 乘数法，设
且令
L x( a y ) ( x2 y2 a2 ) ，
Lx a y 2 x 0 ,
Ly
x 2 y 0,
L
x2
y2 a2
0
.
通过消去 , x，容易得到方程 2 y2 a y a2 0 ，由此解
出 y a , a ．
一、单项选择题
（１）设 an 为一数列，且存在一收敛子列 an j ．
这时下面正确的是 ·······················[ D
]
lim an
Ａ．n
Hale Waihona Puke limja
n
j
；
an
Ｂ． 可能收敛，但 A 不一定成立；
an
Ｃ． 必定不收敛；
an
Ｄ．当预先假设了 收敛时，才有Ａ成立．
1
［理由］ an 收敛的充要条件为： an 的所有
x2 y2 2x
( x2 y 2 )2
y
x2 y2 2y
,
( x2 y 2 )2
1
f
( u
0
)
10 1
50
3
10 3
．
50
12
（３）试求由曲线 y e2x，直线 x 2 , x 0 ，
以及 x 轴所围曲边梯形的面积 S ．
［解］ 由定积分的几何意义，如图所示的曲边
2
15
y a 显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当
y a 时 x 3 a ，这时所求三角形的面积为最大：
2
2
S max
3
3 4
a
2．
［注］ 用 a2 x2 y2 代入 S Smax , 将得到一个不等式
x
x2 y2
y
33 4
x2 y2
．
［思考题］ 当把题中的圆改为椭圆 x2 y2 1 时，得
梯形其面积为
y
S 0 e2 x dx
2
1 e2 x 0
2
2
1 (e4 1 ) . 2
y e2x
S
2
O
x
13
（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法），求内
接于圆 x2 y2 a2 的等腰三角形的最大面积．
［解］ 如图所示，这个等腰三角形的顶点坐标为
(0, a )，底边一端为 ( x, y ) ( 设 x 0 ) ． 于是，三角形的面积 S x (a y ) ， 其中 ( x, y ) 满足条件 x2 y2 a2 ．
n
u
n
0
是一般级数 un 收敛的一个必要条件（不是充分
n1
条件），所以错误的结论只有 C ．
8
二、计算题
（１）试求下列极限：
①
lim 2 4 2n
n
n3
n
．
［解］
lim 2 4 2n n
n
n3
=
lim
n
n ( 2 2n ) 2(n 3)
n
lim
n
4n 4 n 3
17
设 f (x) x7 x5 x，显然它在 ( , ) 上连续．
至多只有有限个项 ” ．
an
再有, 因 Ｃ 中未假设
的极限相等；
a2k1 与 a2k
而Ｄ中所说的 “无穷多个子列 ”并不等同于“ 所有子
列 ”，
所以这些都是错误的．
4
（３）设 f (x) 在 R 上为一连续函数．这时下面正确
的
是 ·······································[
x I ( , ) , f (x) sin x , f ( I ) 1, 1 ．
［思考题］当把 Ａ 与 Ｂ 中的所有 “闭区间” 改 为 “开区间” 时，结论又将如何？
6
（４）设 un 为一正项级数．这时下面错误的
n1
是 ···································
．
9
②
x (
et
- 1)dt
求 lim 0
．
x 0
x2
［解］ 利用性质
dx
dx a f (t ) dt
f (x) （其中
f
为
连续函数），借助洛必达法则，有
lim
x 0
x
(
et
- 1)d
t
0
x2
ex -1
ex
lim
x 0
2x
lim
x 0
2
1 2
．
10
（２）设
x
1
u
y
,
u
0
3
,
试求 f (u ) 与 f (u 0 ) ．
f
(
u
)
ln
x2 y2
1
．
x2 y 2
［解］ 一般地，对于向量函数
x
u
y
,
f
(u
)
g( h(
x x
,y ,y
) )
，
其导数为一 2 × 2 矩阵，即
11
据此求得
f
(
u
)
gx ( x,y ) hx ( x , y )
gy ( x,y )
hy
(
x
,
y
)
．
x
f ( u )
a2 b2
出的结果将会怎样？请大家自己去算一算．
16
三、证明题
（１） 证明：方程 x 7 x5 x c 必有正根，
其中 c 为任意正数．
［证］证明需要用到连续函数的介值性定理， 即若 f (x) 在[ a, b ] 上为一连续函数，f ( a ) f (b) ， 则 f (x) 在 (a, b) 内必能取得 f (a) 与 f (b) 之间的 一切值．
子列 an j 都收敛，此时才有Ａ成立；而当只有一个
子列收敛时，原数列不一定收敛．
［思考题］ 当假设 an 为一特殊的数列（例如
单调数列）时，结论将有何改变？
2
（ ２ li）m a n a
于 ···········n ·[B ]
，它等价
N 0, 0, n N 时, | an a |
[C]
Ａ．若 Ｂ．若 C．若
un
n1 收敛，则
lim
n
u n1 un
1
，则
un
n1 收敛，则
lim
n
u
n
0
；
un
n1 收敛 ；
lim
n
u n1 un
1
；
Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ 中必有一个是错的．
7
［理由］
因为
lim
n
u n1 un
1
是正项级数
un
n1
收敛
的一个充分条件（不是必要条件）；而
lim