因数有关 ,与是否存在有像差无关. 如圆形光瞳的截止
频率为λ2Ra ,a 为圆的半径 λ, 为光波的波长 ,R 为出瞳面 到像面的距离. 通过具体的计算表明 ,像差的影响仅仅 只在通频带内引入与频率有关的相位畸变 , 而相位畸 变正是使像质变坏的原因.
对于同一系统 , 进一步的计算结果 , 用相干光照明 与非相干光照明时 , 其传递函数不同 , 截止频率不一 样 ,而且用非相干光照明的截止频率为相干光的 2 倍. 这个结果并不意味着非相干光照明就一定比相干照明
数 ,定义为 :
H(ξη) = G(ξη) ex p[jkw ( x , y) ]
(3)
(3) 中的 kw ( x , y) 为光程差 w ( x , y) 而引起的相位变
化 ,仿照 (1) 式的定义 :
∫∫∫∫ Dξ( η)有像差 =
∞
-
H(x ,y)
∞
H(x
+λdξi ,y
+λdηi )
dx
dy
非负实函数.
(2) 有像差情况下衍射受限系统的 O TF 为一复函
数
由(1) 式可知 : 在无像差非相干照明情况下 ,O TF
为一非负实函数 , 这意味着系统只改变各频率成分的
对比度 ,而不产生相移. 如果有像差时 , 系统的作用必
将对各频率成分的相位产生影响 , 光瞳函数中应该包
含有相位的成分 , 此时的光瞳函数称之为广义光瞳函
函数. O TF 理论上基于付里叶变换 , 依据充分 , 概念明
晰 ,实践上又与传统的像质评价的标准相联系 ,因此 , 它一问世就立即得到国际上的重视. 近 60 年来 , O TF 的研究已经取得相当的进展 ,其主要工作是进行精确 的计算与测量 ,特别是随着计算机技术的发展 ,对 O TF 的计算速度和精度已达到相当满意的程度 ,然而对于 O TF 本身性质的研究与讨论 ,有关文献的论述是零散 的 ,也是不深入 、不全面的 ,本文仅就这方面作了较为 深入而全面的研究.
=
︱cos 2bπx ︱
展开成付里叶级数 :
t1 (x)
=
︱cos
2π b
x
︱
=
4 π
[
1 2
+
1
1 ×3
cos
4π b
x
-
3
1 ×5
cos
6πb x +
…]
(6)
上式可以看出
:物函数的基频
2 b
> ρ相干 ,所以在相干照
明下 ,成像系统只允许零频分量通过 ,而其他频谱分量
均被挡住 , 物不能成像 , 像面光强呈均匀分布. 如果采
光从截止频率的数值上去作简单的比较是不合适的.
性质 5 :在具有轴对称的情况下 ,OTF 不能反映出光阑
的存在
仍以圆形光瞳为例 ,我们先作一简单的计算. 圆形
光瞳在没有嵌入光阑时 , 通过简单的计算得出其光学
传递函数为 :
Dξ( 0)无光阑
=
2 π
[
cos-
1λRξ a
-
λRξ a
1 - λ( Rξ/ a)2 ]
2 . M u nici pal technology college , Guangz hou U ni versity , Guangz hou 510091)
Abstract :In t his paper was made analysis and study of t he characteristic of optical transfer function (O TF) by use of a calculating met hod .
朱湘柱1 ,张建辉2
(1. 邵阳学院 ,湖南 91) 摘要 :本文用计算的方法 ,较为深入而全面的总结 、研究 、分析了光学传递函数的特性. 关键词 :光学传递函数 ;性质 ;截止频率 中图分类号 :O43 文献标识码 :A
-∞
(1)
上式中的 G( x y) 为光瞳函数 ,分子表示两光瞳中心错
3 项目基金 :邵阳学院首批院级重点科研项目 ,项目编号 :2003B05 收稿日期 :2004 - 12 - 08 作者简介 :朱湘柱 (1950 - ) ,男 ,副教授 ,主要研究方向 :电磁场与光学.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第2期
朱湘柱 ,张建辉 :光学传递函数的特性研究
1 9
开的距离为λdi 时重叠的面积 ,用 S(ξη) 表示. 分母是光
瞳出瞳的总面积 ,用 S0 表示 . 故 (1) 式又可写作为 :
D(ξη) 无像差
=
S(ξη) S0
(2)
上式中的 S(ξη) 与 S0 均为非负数 ,因此 D(ξη) 是一个
之为相位传递函数 ( PTF) . 由此可见 ,调制传递函数是
偶函数 ,相位传递函数是奇函数. 性质 3 :光学传递函数 D(0 0) = 1 ,D(ξη) ≤D(0 0)
由 (1) 、(2) 、(4) 各式看出 :当ξ = 0 η, = 0 时 ,也就
是当两个光瞳中心错开的距离为零时 ,两个光瞳重叠 , 此时 S(ξη) = S0 ,则 D(0 0) = 1. 这个结果正是 O TF 归 一化的结果 ,然而 D(0 0) = 1 并不意味着物和像的背
2 光学传递函数的性质
性质 1 :衍射受限系统的 OTF 为一非负实函数或复函数 (1) 无像差情况下衍射受限系统的 O T F 为一非负
实函数
无像差情况下衍射受限系统的 O T F 的定义为 :
∫∫∫∫ Dξ( η)无像差 =
∞
-
G(x ,y)
∞
G(x
+λdξi ,y
+λdηi )
dx
dy
∞
| G(x ,y) | 2 dx dy
幅分布为
cos
2πb xi
,其频率为
1 b
,按如前所设 ,系统的截
止频率为ρ相干
=
a λR
,且
1 b
< ρ相干 . 因此 ,这个呈余弦分
布的复振幅能不受影响地通过系统成像. 改用非相干
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
用非相干光照明 ρ, 非相干
=
2ρ相干
, 它大于物的基频
2 b
,
所以零频分量和基频分量均能通过系统参与成像 , 尽
管像的基频分量被衰减 ,高频分量被截断 ,但像面上有
图像存在. 由此看来 , 非相干成像要比相干成像好 , 因
为非相干的截止频率高. 然而 ,如果复振幅透过率换为
t2 ( x) = cos 2πb x ,显然 t1 ( x) 与 t2 ( x) 的振幅分布不同 ,但 是它们的强度分布相同 ,用相干光照明 ,理想像的复振
2 0
邵阳学院学报 (自然科学版)
第2卷
光照明 , 其频率为
2 b
,由如前所设 ,系统的截止频率
2 b
< 2ρ相干 ,即小于非相干截止频率. 故此物也能通过系统
成像 ,但幅度要受到衰减. 由此看来 , 在这种物的结构
下 ,相干照明却好于非相干照明.
上述计算表明 ,在一些情况下 ,对同一物理量强度
而言 ,非相干照明截止频率高 , 成像优于相干照明 ; 而
∞
| H(x ,y) | 2 dx dy
-∞
(4)
上式中分母的相位因子不影响积分值 ,应仍为 S0 ,然而
分子中出现的相位因子 , 它不仅影响输入各频率成分
的对比度 ,而且也改变相位 ,产生相位移动. 因此 ,有像
差情况下衍射受限系统的 D(ξη) 有像差 为一复函数.
进一步利用数学上的许瓦兹不等式 ,可以证明 :
Key words :Optical transfer function (O TF) ; Characteristic ; Cut off frequency
1 引言
光学传递函数用于定量地评价光学系统的成像质 量始 于 上 世 纪 50 年 代 之 后. 1946 年 , 法 国 人 P·M · Deffieux 发表了题为《付里叶积分及其在光学中的应 用》一书 ,该书以付里叶变换为数学手段 ,从一个全新 的角度来理解光学系统的成像过程. 同时也自然地引 入了一个新的评价像质的指标 ,即光学传递函数 (opti2 cal transfer function 缩写为 O TF) ,它是仿照电路信号传 递系统而得到. P·M·Deffieux 把光学系统看作是一个 信号传递系统 ,被成像的景物为该系统的“输入”,而像 面上的光强分布为该系统的“输出”. 为了研究“输入” 与“输入”的关系 ,他首先把物面光强分布分解成许多 大小不一 、方向各异的余弦型光强分布 ,即所谓的付里 叶分解 ,然后他认为系统在传递这些余弦型光强分布 的成分时 ,将分别对它们施加不同程度的影响 ,最后经 受了这些影响的各余弦型的光强分布在像面上又叠加 起来 ,即所谓付里叶综合 ,构成像面上的光强分布. 由 此可知 ,系统的作用最终归结为系统对各余弦型光强 分布的影响情况 ,而 O TF 正是定量地反映这种影响的
好一些. 这可通过具体的计算来说明. 如半径为 a 的圆
形光瞳 ,采用相干照明 ,截止频率为 ρ相干
=
a λR
,
设横向
放大率为 1 , 物体的复振幅透过率为 t1 ( x) = ︱cos
2bπx
︱,
而且假如λR b